=for timestamp
Mo Dez 11 17:07:38 CET 2006

=head2 122. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 260, Aufgabe 16

M<g{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\9\\6\end{smallmatrix}\!\right)
+ \mu \left(\!\begin{smallmatrix}8\\1\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
P(14,6,3);>

=over

=item a)

M<g> ist Tangente einer Kugel um M<P>.

Berechne Berührpunkt M<A> und Kugelradius M<r_{\text{a}}>.

M<\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left|\overrightarrow{P X(\mu)}\right|^2 =
{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu}
\left|\left(\!\begin{smallmatrix}-12\\3\\3\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}8\\1\\4\end{smallmatrix}\!\right)\right|^2 = \\
{}\quad =
{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left[144 - 2 \cdot 96 \mu + 64 \mu^2 + 9 +
2 \cdot 3 \mu + \mu^2 + 9 + 2 \cdot 12 \mu + 16 \mu^2\right] = \\
{}\quad =
{}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \mu} \left[162 - 162 \mu + 81 \mu^2\right] =
{}-162 + 162 \mu \stackrel{!}{=} 0;>

Alternativ: M<E{:}\, \vec g \cdot \left(\vec X - \vec P\right) = 0;> → M<E \cap
g = \left\{ A \right\};>

⇔ M<\mu = 1;>

M<\vec A = \vec X(1) =
\left(\!\begin{smallmatrix}10\\10\\10\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<r_{\text{a}} = \sqrt{162 - 162 + 81} = 9;>

=item b)

Auf M<g> liegt der Mittelpunkt M<B> der kleinsten Kugel durch M<P>. Berechne
M<B> und den Kugelradius M<r_{\text{b}}> und die Schnittpunkte M<S> von Kugel
und Gerade.

M<B = A; \quad r_{\text{b}} = r_{\text{a}};>

M<\vec g^0 = \frac{1}{9}
\left(\!\begin{smallmatrix}8\\1\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\vec S_1 = \vec B + r_{\text{b}} \vec g^0 =
{}\left(\!\begin{smallmatrix}18\\11\\14\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
{}\vec S_2 = \vec B - r_{\text{b}} \vec g^0 =
{}\left(\!\begin{smallmatrix}2\\9\\6\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item c)

Berechne Radius M<r_{\text{c}}> und Mittelpunkt M<C> der kleinsten Kugel, die
durch M<P> geht und M<g> berührt.

M<\vec C = \frac{\vec A + \vec B}{2}; \quad r_{\text{c}} =
\frac{r_{\text{a}}}{2};>

=back

=head3 Geometrie-Buch Seite 270, Aufgabe 1

Gib die HESSEform an.

=over

=item a)

NF: M<7x_1 - 2x_2 + 26x_3 + 54 = 0;>

HNF: M<-\frac{1}{27} \left(7x_1 - 2x_2 + 26x_3 + 54\right) = 0;>

=item b)

NF: M<6x_1 + 8x_3 = -50;>

HNF: M<-\frac{1}{10} \left(6x_1 + 8x_3 + 50\right) = 0;>

=item c)

NF: M<15x_1 + 6x_2 - 10x_3 = 0;>

HNF: M<\pm\frac{1}{19} \left(15x_1 + 6x_2 - 10x_3\right) = 0;>

=item d)

NF: M<3x_3 = 3;>

HNF: M<\frac{3x_3 - 3}{3} = x_3 - 1 = 0;>

=item e)

NF: M<\frac{1}{3}x_1 - \frac{2}{3}x_2 + \frac{2}{3}x_3 = 1;>

HNF: M<\frac{1}{3}x_1 - \frac{2}{3}x_2 + \frac{2}{3}x_3 - 1 = 0;>

=item f)

NF: M<x_1 = 0;>

HNF: M<\pm x_1 = 0;>

=back