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Mi Dez 13 16:52:03 CET 2006

=head2 124. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 271, Aufgabe 15

Die Punkte M<P(13,-6,6)> und M<P'> seien symmetrisch bezüglich der Ebene
M<E{:}\, 7x_1 - 4x_2 + 4x_3 - 7 = 0>. Berechne M<P'>.

HNF von M<E>: M<HT_E(X) = \frac{1}{9}\left(7x_1 - 4x_2 + 4x_3 - 7\right) = 0;>

M<d(P,E) = \left|HT_E(P)\right| = \left|\frac{44}{3}\right|;>

M<\vec P' = \vec P - 2 \vec n^0 \cdot d(P,E) =
{}\frac{1}{27}
\left(\!\begin{smallmatrix}-265\\190\\-190\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=head3 Geometrie-Buch Seite 284, Aufgabe 1

M<K> sei Kugel um M<M(3,6,2)> mit Radius M<7>.

Welche der folgenden Punkte liegen in, auf oder außerhalb der Kugel?

M<A(5,9,6); \quad d(A,K) = 7;> M<\\> → M<A> liegt auf der Kugel

M<B(-1,0,0); \quad d(B,K) = 2 \sqrt{14};> M<\\> → M<B> liegt außerhalb der Kugel

M<C(0,0,0); \quad d(C,K) = 7;> M<\\> → M<C> liegt auf der Kugel

M<D(1,1,1); \quad d(D,K) = \sqrt{30};> M<\\> → M<D> liegt innerhalb der Kugel

M<E(3,6,2); \quad d(E,K) = 0;> M<\\> → M<E> liegt innerhalb der Kugel

M<F(3,6,-5); \quad d(F,K) = 7;> M<\\> → M<F> liegt auf der Kugel

M<G(0,0,4); \quad d(G,K) = 7;> M<\\> → M<G> liegt auf der Kugel

=head3 Geometrie-Buch Seite 284, Aufgabe 2

Stelle die Gleichung der Kugel um den Ursprung auf, die

=over

=item a)

den Radius M<\sqrt{17}> hat.

M<\left|\vec X\right| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} = \sqrt{17};>

=item b)

durch M<P(3,4,-12)> geht.

M<d(O,P) = 13;>

M<\left|\vec X\right| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} = 13;>

=item c)

die Ebene M<E{:}\, 3x_1 + 2x_2 + 6x_3 = 49> berührt.

M<d(O,E) = \left|HT_E(O)\right| = 7;>

M<\left|\vec X\right| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} = 7;>

=item d)

die Gerade durch M<P(11,0,11)> und M<Q(20,-6,13)> berührt.

M<g{:}\, \vec X = \vec P + \lambda \overrightarrow{PQ} =
\left(\!\begin{smallmatrix}11\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda
\left(\!\begin{smallmatrix}9\\-6\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\overrightarrow{O X(\lambda)} \cdot \overrightarrow{PQ} =
{}\vec X(\lambda) \cdot \left(\!\begin{smallmatrix}9\\-6\\2\end{smallmatrix}\!\right) =
{}101 + 121 \lambda \stackrel{!}{=} 0;> ⇔ M<\lambda = -\frac{101}{121};>

M<\vec F = \vec X(\lambda) = \frac{1}{121}
\left(\!\begin{smallmatrix}422\\606\\-81\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<d(O,F) = \frac{1}{11} \sqrt{4561};>

M<\left|\vec X\right| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} = \frac{1}{11} \sqrt{4561};>

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