=for timestamp
Do Jan 25 17:10:06 CET 2007

=head2 126. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 220, Aufgabe 2

Gegeben sei eine BERNOULLIkette der Länge M<4> mit der
Trefferwahrscheinlichkeit M<0{,}3>.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

=over

=item a)

Auf zwei Treffer hintereinander folgen zwei Nieten.

M<P_{\text{a}} = p^2 q^2 \approx 4{,}4 \,\%;>

=item b)

Auf zwei Nieten hintereinander folgen zwei Treffer.

M<P_{\text{b}} = P_{\text{a}} = q^2 p^2 \approx 4{,}4 \,\%;>

=item c)

Zwei Treffer und zwei Nieten treten jeweils hintereinander auf.

M<P_{\text{c}} = 2 P_{\text{a}} = 2 p^2 q^2 \approx 8{,}8 \,\%;>

=item d)

Nur die ersten drei Versuche verlaufen erfolgreich.

M<P_{\text{d}} = p^3 q \approx 1{,}9 \,\%;>

=item e)

Die ersten drei Versuche verlaufen erfolgreich.

M<P_{\text{e}} = p^3 q + p^3 p = p^3 (q + p) = p^3 = 2{,}7 \,\%;>

=item f)

Nur zwei Versuche sind erfolgreich.

M<P_{\text{f}} = \binom{4}{2} p^2 q^2 \approx 26{,}5 \,\%;>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 220, Aufgabe 3

Gegeben ist eine BERNOULLIkette der Länge M<4> mit der
Trefferwahrscheinlichkeit M<p>.

=over

=item a)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei Treffer aufeinander
folgen.

M<P_{\text{a}} = P\!\left(\left\{ 1100, 0110, 0011, 1011, 1101 \right\}\right)
= 3 p^2 q^2 + 2 p^3 q;>

=item b)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei Nieten aufeinander
folgen.

M<P_{\text{b}} = P_{\text{b}};>

=item c)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei Treffer oder genau
zwei Nieten aufeinander folgen.

M<P_{\text{c}} = 4 p^2 q^2 + 2 p^3 q + 2 p q^3 = 2 p - 2 p^2 = 2 p q;>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 221, Aufgabe 7

Bei Beginn des Spiels I<Mensch ärgere dich nicht> darf der Spieler dreimal
würfeln. Wenn dabei eine Sechs fällt, darf er mit einer seiner Figuren starten.

=over

=item c)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man beim 1. Durchgang starten?

M<P = p + q p + q^2 p = 1 - q^3 \approx 42{,}1 \,\%;>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 222, Aufgabe 17

Wie viel Mal muss man einen homogenen Würfel wenigstens werfen, um mit einer
Mindestwahrscheinlichkeit von M<90 \,\%> wenigstens einmal eine Sechs zu
würfeln?

M<n \geq \frac{\ln\left[1 - 90 \,\%\right]}{\ln\left[1 - \frac{1}{6}\right]}
\approx 12{,}6;>

→ M<n \geq 13;>