=for timestamp
Sa Jan 27 22:05:17 CET 2007

=head2 128. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 223, Aufgabe 23

Gegeben sei eine BERNOULLIkette der Länge M<4> und der
Trefferwahrscheinlichkeit M<0{,}3>.

=over

=item a)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, beim M<i>-ten Versuch zum ersten Mal
einen Treffer zu erzielen (M<i = 1, 2, 3, 4>).

Kurzschreibweisen:
M<s^n = \underbrace{sss \ldots sss}_{n};> M<\quad>
M<1\mathord{*}\mathord{*}\mathord{*} = \left\{ (1,a,b,c)
\,\middle|\, a,b,c \in \left\{ 0,1 \right\} \right\};>

M<P\!\left(1\mathord{*}\mathord{*}\mathord{*}\right) = p = 30 \,\%;>

M<P\!\left(01\mathord{*}\mathord{*}\right) = q p = 21 \,\%;>

M<P\!\left(001\mathord{*}\right) = q^2 p = 14{,}7 \,\%;>

M<P\!\left(\left\{0001\right\}\right) = q^3 p \approx 10{,}3 \,\%;>

=item b)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich zum ersten Mal ein Treffer nach
höchstens vier Versuchen einstellt?

M<P\!\left(
{} 1\mathord{*}\mathord{*}\mathord{*} \cup
{} 01\mathord{*}\mathord{*} \cup
{} 001\mathord{*} \cup
{} \left\{0001\right\}
\right) = p + qp + q^2 p + q^3 p = p \left(1 + q + q^2 + q^3\right) = 1 -
P\!\left(\left\{ 0000 \right\}\right) \approx 76 \,\%;>

=item c)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Treffer frühstens beim
dritten Versuch zum ersten Mal einstellt?

M<P\!\left(
{} 001\mathord{*} \cup
{} \left\{0001\right\}
\right) = q^2 p + q^3 p = p \left(q^2 + q^3\right) \approx 25 \,\%;>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 223, Aufgabe 24

Eine Laplace-Münze wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal I<Kopf>
erscheint, höchstens aber zehn Mal.

=over

=item a)

Konstruieren Sie einen passenden Ergebnisraum.

M<\Omega = \left\{ 0,1 \right\}^{10};>

=item b)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt spätestens beim 5. Wurf Kopf?

M<P\!\left(
{} 1\mathord{*}^9 \cup
{} 01\mathord{*}^8 \cup
{} 001\mathord{*}^7 \cup
{} 0001\mathord{*}^6 \cup
{} 00001\mathord{*}^5
\right) = p + qp + q^2 p + q^3 p + q^4 p = p + p^2 + p^3 + p^4 + p^5 \approx
96{,}9 \,\%;>

=item c)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt frühestens beim 5. Wurf Kopf?

M<P\!\left(
{} 00001\mathord{*}^5
\right) = q^4 p = p^5 \approx 3{,}1 \,\%;>

"Alternativ":

M<P\!\left(0000 \mathord{*}^6\right) = q^4 \approx 6{,}3 \,\%;>

=item d)

Mit welcher Anzahl von Würfen ist das Spiel mit mehr als M<99 \,\%>
Wahrscheinlichkeit spätestens beendet?

M<n \geq \frac{\ln\left[1 - 99 \,\%\right]}{\ln\left[1 - p\right]} \approx
6{,}6;> → M<n \geq 7;>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 223, Aufgabe 25

Ein Laplace-Würfel wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal Augenzahl M<6>
erscheint, höchstens aber sechs Mal.

=over

=item a)

Suchen Sie einen geeigneten Ergebnisraum.

M<\Omega = \left\{ 0,1 \right\}^6;>

=item b)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt genau beim 6. Wurf die Zahl M<6>?

M<P(0^5 1) = q^5 p \approx 6{,}7 \,\%;>

=item c)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt keinmal die Sechs?

M<P(0^6) = q^5 \approx 33{,}5 \,\%;>

=item d)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt frühestens beim 5. Wurf die Sechs?

M<P(0^4 \mathord{*}^2) = q^4 \approx 48{,}2 \,\%;>

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=head3 Stochastik-Buch Seite 224, Aufgabe 26

Gegeben sei eine BERNOULLIkette mit den Parametern M<n> und M<p>. Wir
interessieren uns für die Ereignisse M<E_k>: "In den ersten M<\left(k-1\right)>
Versuchen kein Treffer, beim M<k>-ten Versuch ein Treffer" (M<k =
0,1,\ldots,n>).

=over

=item a)

Berechnen Sie M<P(E_2)>.

M<P(E_2) = q p;>

=item b)

Berechnen Sie M<P(E_3)>.

M<P(E_3) = q^2 p;>

=item c)

Berechnen Sie M<P(E_k)>.

M<P(E_k) = q^{k - 1} p;>

=item d)

Da wir uns für die Ereignisse M<E_k> interessieren, können wir den Ergebnisraum
der BERNOULLIkette vergröbert auch darstellen durch

M<\Omega = \left\{ 1, 01, 001, \ldots, \mathord{\underbrace{000 \ldots
000}_{n-1}}1, \underbrace{000\ldots000}_n \right\}>.

Zeigen Sie, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse
gleich M<1> ist.

M<\Omega' = \left\{ 0,1 \right\}^n;>

M<\begin{array}{@{}rrcl}
{} f{:}\, & \Omega' &\to& \Omega \\
{}        & 1   \mathord{*}^{n-1} &\mapsto& 1 \\
{}        & 01  \mathord{*}^{n-2} &\mapsto& 01 \\
{}        & 001 \mathord{*}^{n-3} &\mapsto& 001 \\
{}        &                       &\vdots
\end{array}>

Mit M<\omega \in \Omega>:
M<P(\omega) = P\!\left(\left\{ \omega' \in \Omega' \,\middle|\, f(\omega') =
\omega \right\}\right);>

Da M<P(\Omega') = 1> und die Zerlegung über das Urbild der Elementarereignisse
von M<\Omega> unter M<f> disjunkt ist, muss auch M<P(\Omega) = 1> gelten.

Alternativ:

M<P(\Omega) = p + pq + pq^2 + \cdots + pq^{n-1} + q^n =
{}p \left(1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1}\right) + q^n =
{}p \cdot \left[\frac{q^n - 1}{q - 1} \cdot 1\right] + q^n =
{}-q^n + 1 + q^n = 1;>

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