=for timestamp
Mi Okt 19 14:14:03 CEST 2005

=head2 13. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 37, Aufgabe 27

Gib eine Integralfunktion zur Integrandenfunktion M<\mathrm{f}\colon x \mapsto
x^2; \quad D_{\mathrm{f}} = \mathds{R}> an, die

=over

=item a)

an der Stelle M<1> den Funktionswert M<0>

=item b)

an der Stelle M<a> den Funktionswert M<b> hat.

=back

M<\varphi\colon x \mapsto \varphi(x) = \int\limits_k^x \mathrm{f}(t)
\,\mathrm{d}t = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3}k^3;>

M<\varphi(a) = \frac{1}{3}a^3 - \frac{1}{3}k^3 = b; \Rightarrow k =
\sqrt[3]{a^3 - 3b};>

⇒ M<\int\limits_{\sqrt[3]{a^3 - 3b}}^x \mathrm{f}(t) \,\mathrm{d}t;>

⇒ M<\int\limits_{\sqrt[3]{1^3 - 3 \cdot 0}}^x \mathrm{f}(t) \,\mathrm{d}t =
\int\limits_1^x \mathrm{f}(t) \,\mathrm{d}t;>

=head3 Analysis-Buch Seite 37, Aufgabe 28c

Berechne die Fläche zwischen der M<x>-Achse und M<G_{\mathrm{f}}> im Bereich
von M<x = a> bis M<x = b>.

M<\mathrm{f}(x) := -x^2 + x; \quad a = -1; b = 0;>

M<\int\limits_a^b \left|\mathrm{f}(x)\right| \mathrm{d}x = \int\limits_{-1}^0
-\mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{5}{6};>

=head3 Analysis-Buch Seite 37, Aufgabe 29

Berechne die Fläche zwischen M<G_{\mathrm{f}}> und der M<x>-Achse für

=over

=item a)

M<\mathrm{f}\colon x \mapsto 2 - x - x^2;>

M<\mathrm{f}(x) = 0; \Rightarrow x_1 = -2; \quad x_2 = 1;>

⇒ M<\int\limits_{-2}^1 \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{9}{2};>

=item b)

M<\mathrm{f}\colon x \mapsto x^2 \left(x + 2\right) = x^3 + 2x^2;>

M<\mathrm{f}(x) = 0; \Rightarrow x_1 = -2; \quad x_2 = 0;>

⇒ M<\int\limits_{-2}^0 -\mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{4}{3};>

=back

=head3 Analysis-Buch Seite 37, Aufgabe 31

Berechne

=for latex
\begin{multicols}{2}

=over

=item a)

M<\int\limits_0^1 \left(x - x^2\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{6};>

=item b)

M<\int\limits_2^3 x^2 \,\mathrm{d}x = \frac{19}{3};>

=item c)

M<\int\limits_2^3 t^2 \,\mathrm{d}t = \frac{19}{3};>

=item d)

M<\int\limits_{-2}^{+2} v^2 \,\mathrm{d}v = \frac{16}{3};>

=item e)

M<\int\limits_0^b \left(ax - x^2\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{2}ab^2 -
\frac{1}{3}b^3;>

=item f)

M<\int\limits_0^b \left(ax - x^2\right) \mathrm{d}a = \frac{1}{2}b^2x -
bx^2;>

=item g)

M<\int\limits_0^b \left(ax - x^2\right) \mathrm{d}t = b\left(ax -
x^2\right);>

=back

=for latex
\end{multicols}