=for timestamp
Mi Feb  7 16:00:58 CET 2007

=head2 134. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 258, Aufgabe 2

M<X> sei die Augenzahl beim Werfen eines echten Würfels.

=over

=item a)

Wie groß ist die maximale absolute Abweichung M<\left|X - \mu\right|>?

M<\mu = 3{,}5;>

M<\max \left\{ \left|X(\omega) - \mu\right| \,\middle|\, \omega \in \Omega
\right\} = 2{,}5;>

=item b)

Berechnen Sie M<P\!\left(\left|X - \mu\right| \leq 2{,}5\right)> und
M<P\!\left(\left|X - \mu\right| E<gt> 2{,}5\right)>.

M<P\!\left(\left|X - \mu\right| \leq 2{,}5\right) = 1;>

M<P\!\left(\left|X - \mu\right| E<gt> 2{,}5\right) = 1 - P\!\left(\left|X -
\mu\right| \leq 2{,}5\right) = 0;>

=item c)

Welche Abschätzung liefert die Tschebyschew-Ungleichung für M<P\!\left(\left|X
- \mu\right| \leq 2{,}5\right)> bzw. M<P\!\left(\left|X - \mu\right| E<gt>
2{,}5\right)>?

M<\sigma^2 = \frac{35}{12};>

M<P\!\left(\left|X - \mu\right| \leq 2{,}5\right) E<gt> 1 -
\frac{\sigma^2}{\left(2{,}5\right)^2} = 1 - \frac{35/12}{\left(2{,}5\right)^2}
\approx 53{,}3 \,\%;>

M<P\!\left(\left|X - \mu\right| E<gt> 2{,}5\right) \leq
\frac{\sigma^2}{\left(2{,}5\right)^2} = \frac{35/12}{\left(2{,}5\right)^2}
\approx 46{,}7 \,\%;>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 258, Aufgabe 3

Berechnen Sie von den folgenden Zufallsgrößen jeweils M<P\!\left(\left|X -
\mu\right| E<lt> t \sigma\right)> für M<t = 3/2> und M<t = 2> und vergleichen
Sie die exakten Werte mit den Schranken nach Tschebyschew:

=over

=item a)

M<X> sei die Augensumme beim Werfen zweier Würfel.

M<\mu = 7; \quad \sigma^2 = \frac{70}{12};>

M<P\!\left(\left|X - \mu\right| E<lt> \frac{3}{2} \sigma\right) =
\frac{30}{6^2} \approx 83{,}3 \,\%;> (Augensummen von M<3> bis M<11>)

M<P\!\left(\left|X - \mu\right| E<lt> \frac{3}{2} \sigma\right) \geq 1 -
\frac{\sigma^2}{\left(\frac{3}{2} \sigma\right)^2} = 1 - \frac{4}{9} \approx 55{,}5
\,\%;>

M<P\!\left(\left|X - \mu\right| E<lt> 2 \sigma\right) = \frac{34}{6^2}
\approx 94{,}4 \,\%;> (Augensummen von M<4> bis M<10>)

M<P\!\left(\left|X - \mu\right| E<lt> 2 \sigma\right) \geq 1 -
\frac{\sigma^2}{\left(2 \sigma\right)^2} = 1 - \frac{1}{4} = 75 \,\%;>

=item b)

M<X> sei die Anzahl der Wappen beim viermaligen Werfen einer einwandfreien
Münze.

M<\mu = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2; \quad \sigma^2 = 4 \cdot \frac{1}{2}
\frac{1}{2} = 1;>

M<P\!\left(\left|X - \mu\right| E<lt> \frac{3}{2} \sigma\right) = 87{,}5
\,\%;> (alle Ergebnisse außer M<0^4> und M<1^4>)

M<P\!\left(\left|X - \mu\right| E<lt> \frac{3}{2} \sigma\right) \geq 1 -
\frac{\sigma^2}{\left(\frac{3}{2} \sigma\right)^2} = 1 - \frac{4}{9} \approx 55{,}5
\,\%;>

M<P\!\left(\left|X - \mu\right| E<lt> 2 \sigma\right) = 87{,}5 \,\%;> (alle
Ergebnisse außer M<0^4> und M<1^4>)

M<P\!\left(\left|X - \mu\right| E<lt> 2 \sigma\right) \geq 1 -
\frac{\sigma^2}{\left(2 \sigma\right)^2} = 1 - \frac{1}{4} = 75 \,\%;>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 258, Aufgabe 4

Sei M<k \in \mathds{R}^+>. Eine Zufallsgröße M<X> nehme die Werte
M<\left(-k\right)>, M<0>, M<k> mit den Wahrscheinlichkeiten M<P(X = -k) =
\frac{1}{2 \sqrt{k}}>, M<P(X = 0) = 1 - \frac{1}{\sqrt{k}}>, M<P(X = k) =
\frac{1}{2 \sqrt{k}}> an.

=over

=item a)

Berechnen Sie M<\mu> und M<\sigma^2>.

Achtung: M<k> muss größergleich M<\frac{1}{4}> sein, andernfalls ist M<P(X =
\pm k)> größer M<1>!

M<\mu = 0; \quad \sigma^2 = E(X^2) - E^2(X) = k^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{k}} =
k^{3/2};>

=item b)

Berechnen Sie M<P\!\left(\left|X\right| \geq k\right)>.

M<P\!\left(\left|X\right| \geq k\right) = \frac{1}{\sqrt{k}};> (M<X = \pm k>)

=item c)

Schätzen Sie M<P\!\left(\left|X\right| \geq k\right)> nach Tschebyschew ab.

M<P\!\left(\left|X\right| \geq k\right) \leq \frac{k^{3/2}}{k^2} =
\frac{1}{\sqrt{k}};>

=item d)

Vergleichen Sie die beiden Ergebnisse.

Die TSCHEBYSCHEWschranke ist in diesem Fall optimal.

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 258, Aufgabe 5

Bei der automatischen Herstellung von Stahlbolzen wird ein Durchmesser von
M<4{,}5 \,\mathrm{mm}> verlangt, wobei Abweichungen bis zu M<0{,}2
\,\mathrm{mm}> zulässig sind. Eine Überprüfung ergab für den Durchmesser den
Erwartungswert M<4{,}5 \,\mathrm{mm}> bei einer Standardabweichung von M<0{,}08
\,\mathrm{mm}>. Mit welchem Anteil an unbrauchbaren Bolzen muss höchstenfalls
gerechnet werden?

M<P\!\left(\left|X - 4{,}5 \,\mathrm{mm}\right| E<gt> 0{,}2
\,\mathrm{mm}\right) E<lt> \frac{\left(0{,}08
\,\mathrm{mm}\right)^2}{\left(0{,}2 \,\mathrm{mm}\right)^2} = 16 \,\%;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 258, Aufgabe 6

Der Inhalt automatisch verpackter Fleischkonserven soll M<1000 \,\mathrm{g}>
betragen. Abweichungen von M<30 \,\mathrm{g}> vom Soll seien zulässig. Bei der
Überprüfung des Inhalts M<X> vieler Konservendosen in M<\mathrm{g}> ergab sich
als arithmatischer Mittelwert M<\overline{x} = 1000 \,\mathrm{g}> und als
empirische Varianz M<s^2 = 100 \,\mathrm{g}^2>.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Doseninhalt außerhalb der zulässigen
Toleranz?

M<P\!\left(\left|X - \overline{x}\right| E<gt> 30 \,\mathrm{g}\right) E<lt>
\frac{s^2}{\left(30 \,\mathrm{g}\right)^2} = \frac{1}{9} \approx 11{,}1 \,\%;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 258, Aufgabe 7

Der Fehleranteil serienmäßig hergestellter Produkte sei M<1 \,\%>. Aus einem
Los sehr großen Umfangs M<N> wird eine Stichprobe von M<n = 1000> Einheiten
entnommen (M<n \ll N>). Gefragt ist nach einer Abschätzung der
Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl M<X> der fehlerhaften Elemente vom
Erwartungswert um höchstens M<10> Einheiten abweicht.

M<\mu = 1000 \cdot 1 \,\% = 10; \quad \sigma^2 = 1000 \cdot \left(1 \,\%\right)
\left(99 \,\%\right) = 9{,}9;>

M<P\!\left(\left|X - 10\right| \leq 10\right) E<gt> 1 - \frac{9{,}9}{10^2} =
90{,}1 \,\%;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 258, Aufgabe 8

Eine Anlage besteht aus M<10> unabhängig voneinander arbeitenden Elementen, von
denen jedes innerhalb der Wartungszeit mit der Wahrscheinlichkeit M<5 \,\%>
ausfällt. Es ist die Wahrscheinlichkeit dafür abzuschätzen, dass die Zahl M<X>
der ausfallenden Elemente vom Erwartungswert um mindestens M<2> abweicht.
Vergleich mit dem exakten Wert!

M<\mu = 10 \cdot 5 \,\% = 0{,}5; \quad \sigma^2 = 10 \cdot \left(5 \,\%\right)
\left(95 \,\%\right) = 0{,}475;>

M<P\!\left(\left|X - 0{,}5\right| \geq 2\right) \leq \frac{0{,}475}{2^2}
\approx 11{,}9 \,\%;>