=for timestamp
So Feb 11 17:32:28 CET 2007

=head2 135. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 260, Aufgabe 11

Die Lebensdauer M<X> bestimmter Projektionslampen schwankt mit einer
Standardabweichung von M<\sigma = 10 \,\mathrm{h}> um den Erwartungswert M<\mu
= 150 \,\mathrm{h}>.

=over

=item a)

Mit welcher Mindestwahrscheinlichkeit ergibt eine Zufallsauswahl von vier
Lampen eine mittlere Lebensdauer zwischen 130 und 170 Stunden?

M<P\!\left(\left|\overline{X} - 150 \,\mathrm{h}\right| \leq 20
\,\mathrm{h}\right) E<gt> 1 - \frac{\left(10 \,\mathrm{h}\right)^2}{4 \left(20
\,\mathrm{h}\right)^2} \approx 93{,}8 \,\%;>

=item b)

Mit welcher Mindestwahrscheinlichkeit kann bei insgesamt 16 Lampen mit einer
Gesamtlebensdauer zwischen 2240 und 2560 Stunden gerechnet werden?

M<P\!\left(\left|X^\Sigma - 2400 \,\mathrm{h}\right| \leq 160 \,\mathrm{h}
\,\mathrm{h}\right) E<gt> 1 - \frac{16 \left(10
\,\mathrm{h}\right)^2}{\left(160 \,\mathrm{h}\right)^2} \approx 93{,}8 \,\%;>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 260, Aufgabe 12

Für die Brenndauer M<X> einer Glühlampenserie kann die Standardabweichung
M<\sigma E<lt> 100 \,\mathrm{h}> angenommen werden. Wie viele Lampen müs­sen
mindestens getestet werden, damit der arithmetische Mittelwert der Brenndauer
mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens M<95 \,\%> um weniger als M<50
\,\mathrm{h}> vom Erwartungswert abweicht?

M<95 \,\% = P\!\left(\left|\overline{X} - \mu\right| E<lt> 50
\,\mathrm{h}\right) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{n \cdot \left(50
\,\mathrm{h}\right)^2};> ⇔

M<n \leq \frac{\sigma^2}{\left[1 - P\!\left(\left|\overline{X} - \mu\right|
E<lt> 50 \,\mathrm{h}\right)\right] c^2} = 80;>

XXX Fehler: M<n> müsste M<\geq> irgendwas sein 4,21

=head3 Stochastik-Buch Seite 260, Aufgabe 13

Ein fairer Würfel wird M<n> Mal unabhängig geworfen. M<X_i> sei die beim
M<i>-ten Wurf erzielte Augenzahl.

=over

=item a)

Geben Sie mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyschew eine Abschätzung der
Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das arithmetische Mittel M<\overline{X}> der
erzielten Augenzahlen einen Wert aus dem Intervall M<\left[3,4\right]> annimmt,
wenn M<n = 70> Würfe durchgeführt werden.

Führen Sie dieses Experiment durch und berechnen Sie M<\overline{x}>.

M<\operatorname{Var}(X_i) = E(X_i^2) - E^2(X_i) = \frac{1}{6} \left[1^2 + 2^2 +
3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2\right] - \left(3{,}5\right)^2 = \frac{35}{12};>

M<P\!\left(\left|\overline{X} - 3{,}5\right| \leq 0{,}5\right) E<gt> 1 -
\frac{35/12}{70 \cdot \left(0{,}5\right)^2} \approx 83{,}3 \,\%;>

Berechnung von M<\overline{x}>:

  module Main where

  import System.Random
  import Control.Monad
  import Data.List

  main = study 10000 >>= putStrLn . show

  run = fmap (avg . take 70 . randomRs (1,6))

  study n = do
    ws <- replicateM n $ run (newStdGen >> getStdGen)
    let ok = filter (\x -> x >= 3 && x <= 4) ws
    return $ genericLength ok / genericLength ws

  avg xs = fromIntegral (sum xs) / genericLength xs

Ergebnis: Mit ca. M<98{,}679 \,\%> Wahrscheinlichkeit (M<100 \, 100>
durchgeführte Experimente) liegt M<\overline{x}> in M<\left[3,4\right]>.

=item b)

Wie oft muss man nach der Tschebyschew-Abschätzung mindestens werfen, damit
M<\overline{X}> mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als M<90 \,\%> einen Wert
aus dem Intervall M<\left[3{,}3, 3{,}7\right]> annimmt?

M<90 \,\% = P\!\left(\left|\overline{X} - 3{,}5\right| \leq 0{,}2\right) E<gt> 1 -
\frac{35/12}{n \cdot \left(0{,}2\right)^2};> ⇔

M<n E<lt> \frac{35/12}{\left(1 - 90 \,\%\right) \cdot \left(0{,}2\right)^2}
\approx 729{,}2;> (XXX müsste M<E<gt>> heißen)

Man muss mindestens 730 Mal werfen.

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