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Mo Feb 19 12:56:35 CET 2007

=head2 136. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 265, Aufgabe 17

In einer Urne befinden sich 1000 Kugeln, davon 200 weiße. Es wird 400 Mal eine
Kugel mit Zurücklegen gezogen. Man gebe eine untere Schranke für die
Wahrscheinlichkeit dafür an, dass mindestens 40 Mal und höchstens 120 Mal eine
weiße Kugel gezogen wird.

M<P\!\left(\left|\frac{X}{n} - p\right| \leq \frac{40}{200}\right) E<gt> 1 -
\frac{p q}{n \varepsilon^2} = 99 \,\%;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 265, Aufgabe 20

In einem Gefäß befinden sich M<10^{23}> Moleküle eines Gases. Für jedes Molekül
sei die Wahrscheinlichkeit, sich in der linken Gefäßhälfte aufzuhalten,
ebenso groß wie die, sich in der rechten Gefäßhälfte aufzuhalten. Die Moleküle
mögen sich unabhängig bewegen.

Man schätze die Wahrscheinlichkeit dafür ab, dass sich zu einem bestimmten
Zeitpunkt weniger als M<49{,}99 \,\%> oder mehr als M<50{,}01 \,\%> der
Moleküle in der linken Hälfte des Gefäßes aufhalten.

M<P\!\left(\left|\frac{X}{n} - p\right| E<gt> 0{,}01 \,\%\right) E<lt>
\frac{p q}{n \varepsilon^2} = 2{,}5 \cdot 10^{-16};>

=head3 Stochastik-Buch Seite 266, Aufgabe 22

Wie oft muss man würfeln, damit sich die relative Häufigkeit für das Werfen
einer Sechs mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens M<80 \,\%> um weniger
als M<1 \,\%> von der Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln, unterscheidet?

M<P\!\left(\left|\frac{X}{n} - p\right| E<lt> \varepsilon \,\%\right) \geq 1 - \frac{p
q}{n \varepsilon^2} \geq P;> ⇔

M<1 - P \geq \frac{p q}{n \varepsilon^2};> ⇔

M<n \geq \frac{p q}{\varepsilon^2 \left(1 - P\right)};>

Speziell: M<n \geq \frac{\frac{1}{6} \frac{5}{6}}{\left(1 \,\%\right)^2 \cdot
20 \,\%} \approx 6944{,}4;> → M<n \geq 6945;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 266, Aufgabe 24

Man gebe eine Abschätzung für die Anzahl der Wahlberechtigten an, die man
befragen muss, um mit mehr als M<90 \,\%> Wahrscheinlichkeit das Wahlergebnis
für eine bestimmte Partei mit einem Fehler von höchstens M<1 \,\%> vorhersagen
zu können.

M<P\!\left(\left|\frac{X}{n} - p\right| \leq \varepsilon\right) E<gt> 1 -
\frac{1}{4 n \varepsilon^2} \geq P;> ⇔

M<n \geq \frac{1}{4 \varepsilon^2 \left(1 - P\right)};>

Speziell: M<n \geq \frac{1}{4 \left(1 \,\%\right)^2 \cdot 10 \,\%} = 25\,000;>