=for timestamp
Fr Okt 21 14:59:01 CEST 2005

=head2 14. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 37, Aufgabe 32

M<< \mathrm{f}(x) := \begin{cases}
{} \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} & \text{f"ur } x \in \left[0, 3\right]; \\
{} -x           + 5           & \text{f"ur } x \in \left]3, 4\right];
\end{cases} >>

⇒ M<< \mathrm{F}(x) = \begin{cases}
{} \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x       & \text{f"ur } x \in \left[0, 3\right]; \\
{} \frac{15}{4}                        & \text{f"ur } x = 3; \\
{} -\frac{1}{2}x^2 + 5x - \frac{27}{4} & \text{f"ur } x \in \left]3, 4\right];
\end{cases} >>

M<< \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \left.\begin{array}{l}
{} \mathrm{F} \text{ stetig in } D_{\mathrm{f}}; \\
{} \left.\begin{array}{l}
{}   \lim\limits_{x \to 3-} \mathrm{F}'(x) = 2 \\
{}   \lim\limits_{x \to 3+} \mathrm{F}'(x) = 2
{} \end{array}\right\} =
{}   \mathrm{F}'(3) = \mathrm{f}(x);
\end{array}\right\} \Rightarrow \mathrm{F}' = \mathrm{f}'; >>

Berechne

=over

=item a)

M<\int\limits_0^3 \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{F}(3) - \mathrm{F}(0) =
\frac{15}{4};>

=item b)

M<\int\limits_3^4 \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{F}(4) - \mathrm{F}(3) =
\frac{3}{2};>

=item c)

M<\int\limits_0^4 \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{F}(4) - \mathrm{F}(0) =
\int\limits_0^3 \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x + \int\limits_3^4 \mathrm{f}(x)
\,\mathrm{d}x = \mathrm{F}(3) - \mathrm{F}(0) + \mathrm{F}(4) - \mathrm{F}(3) =
\mathrm{F}(4) - \mathrm{F}(0) = \frac{21}{4};>

=back

=head3 Analysis-Buch Seite 37, Aufgabe 34

M<\mathrm{f}(x) := \sqrt{4 - x^2}; \quad D_{\mathrm{f}} = \left[-2, 2\right];>

=over

=item a)

Zeige, dass für M<(x_0, y_0) \in G_{\mathrm{f}}> gilt: M<x_0^2 + y_0^2 = 4;>

M<x_0^2 + y_0^2 = x_0^2 + \mathrm{f}(x_0) = x_0^2 + 4 - x_0^2 = 4;>

Was folgt daraus für die Form von M<G_{\mathrm{f}}>?

M<\mathrm{f}> beschreibt einen Halbkreis mit Radius M<r = \sqrt{4} = 2>.

=item b)

Berechne mit Holfe geometrischer Überlegungen

=over

=item *

M<\int\limits_{-2}^{+2} \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{\pi r^2}{2} =
2\pi;>

=item *

M<\int\limits_0^{+2} \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{\pi r^2}{4} =
\pi;>

=item *

M<\int\limits_0^1 \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = r^2 \frac{\alpha}{2} +
\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \mathrm{f}(1) = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} -
\operatorname{arctan} \frac{\mathrm{f}(1)}{1}\right) \, r^2 +
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}}{2} r^2 +
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2};>

=item *

M<\int\limits_1^2 \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \int\limits_0^{+2}
\mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x - \int\limits_0^1 \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \pi
- \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{3}\pi - \frac{\sqrt{3}}{2};>

=back

=back

=head3 Analysis-Buch Seite 37, Aufgabe 35

Berechne M<\int\limits_0^2 \sqrt{9 - x^2} \,\mathrm{d}x>, indem du den Kreis
M<x^2 + y^2 = 9> betrachtest.

M<r = \sqrt{9} = 3;>

M<\int\limits_0^2 \sqrt{9 - x^2} \,\mathrm{d}x = r^2 \frac{\alpha}{2} +
\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \mathrm{f}(2) = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} -
\operatorname{arctan} \frac{\mathrm{f}(2)}{2}\right) \, r^2 +
\sqrt{5} \approx 5{,}52;>