=for timestamp
Di Mär 20 20:27:24 CET 2007

=head2 145. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 336, Aufgabe 3

Bei einem Stichprobenumfang von M<n = 20> soll über die beiden Hypothesen
M<H_1>: M<p = 0{,}25> und M<H_2>: M<p = 0{,}5> entschieden werden. Die
irrtümliche Entscheidung für M<H_2> soll höchstens mit M<5 \,\%>
Wahrscheinlichkeit vorkommen.

=over

=item a)

Bestimmen Sie die Entscheidungsregel.

M<\operatorname{An} H_1 = \left\{ 0,1,\ldots,k \right\};> M<\quad>
M<\operatorname{An} H_2 = \left\{ k+1,\ldots,n \right\};>

M<{P^{20}_{H_1}}(X \in \operatorname{An} H_2) =
{}{P^{20}_{0{,}25}}(X \geq k+1) =
{}1 - {P^{20}_{0{,}25}}(X E<lt> k+1) =
{}1 - {P^{20}_{0{,}25}}(X \leq k) =
{}1 - F(20, 0{,}25; k) \stackrel{!}{\leq} 5 \,\%;> ⇔

M<F(20, 0{,}25; k) \geq 1 - 5 \,\% = 95 \,\%;> ⇔
M<k \geq 8;>

M<\operatorname{An} H_1 = \left\{ 0,1,\ldots,8 \right\}\!;> M<\quad>
M<\operatorname{An} H_2 = \left\{ 9,10,\ldots,20 \right\}\!;>

=item b)

Stellen Sie die Wahrscheinlichkeiten für richtige und irrtümliche
Entscheidungen in einer Vierfeldertafel entsprechend Beispiel 15.1 zusammen.

=table | M<X \in \operatorname{An} H_1> | M<X \in \operatorname{An} H_2>
=row M<H_1> "in Wahrheit" |
M<{P^{20}_{0{,}25}}(X \leq 8) \approx 95{,}9 \,\%> |
M<{P^{20}_{0{,}25}}(X E<gt> 8) \approx 4{,}1 \,\%>
=row M<H_2> "in Wahrheit" |
M<{P^{20}_{0{,}5}}(X \leq 8) \approx 25{,}2 \,\%> |
M<{P^{20}_{0{,}5}}(X E<gt> 8) \approx 74{,}8 \,\%>

=item c)

Für welche Entscheidungsregel sind die beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten etwa
gleich groß? Entwerfen Sie auch in diesem Fall eine Vierfeldertafel der
Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Entscheidungen.

M<\operatorname{An} H_1 = \left\{ 0,1,\ldots,k \right\}\!;> M<\quad>
M<\operatorname{An} H_2 = \left\{ k+1,\ldots,n \right\}\!;>

M<{P^{20}_{0{,}25}}(X \geq k + 1) \stackrel{!}{\approx}
{}{P^{20}_{0{,}5}}(X \leq k);> ⇔

M<1 - {P^{20}_{0{,}25}}(X \leq k) \stackrel{!}{\approx}
{}{P^{20}_{0{,}5}}(X \leq k);>

=for comment
func0(x) = int(x) == x ? 1. - int(20.)!/(int(x)!*int(20.-x)!)*0.25**x*0.75**(20.-x) : 1/0
func1(x) = int(x) == x ? int(20.)!/(int(x)!*int(20.-x)!)*0.5**x*0.5**(20.-x) : 1/0

Ausprobieren liefert: M<k = 7;>

Fehlerwahrscheinlichkeiten sind dann M<10{,}2 \,\%> bzw. M<13{,}2 \,\%>.

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