=for timestamp
Mo Mär 26 20:30:23 CEST 2007
=head2 148. Hausaufgabe
=head3 Stochastik-Buch Seite 350, Aufgabe 11
Ein Elektrohändler vereinbart mit einem Lieferanten von Glühbirnen, dass er
einen bestimmten Preisnachlass erhält, falls der Anteil M
an defekten
Glühbirnen einer größeren Lieferung M<10 \,\%> übersteigt.
Vereinbarungsgemäß werden der ganzen Sendung M<50> Glühbirnen zufällig
entnommen und geprüft. Ergeben sich mehr als M<7> defekte Glühbirnen, so soll
angenommen werden, M
übersteige M<10 \,\%>.
(Bemerkung: Selbstverständlich werden die Glühbirnen ohne Zurücklegen
entnommen. Da es sich aber um eine sehr große Lieferung handelt, macht es für
die Rechnung keinen wesentlichen Unterschied, ob mit oder ohne Zurücklegen
entnommen wird.)
=over
=item a)
Wie groß ist das Risiko des Lieferanten, einen Preisnachlass gewähren zu
müssen, obwohl nur M<10 \,\%> der Glühbirnen defekt sind?
M: Anzahl defekter Glühbirnen
M<{P^{50}_{10 \,\%}}(X E 7) =
{}1 - {P^{50}_{10 \,\%}}(X \leq 7) \approx 12{,}2 \,\%;>
=item b)
Wie groß ist das Risiko des Händlers, keinen Preisnachlass zu erhalten, obwohl
nur M<20 \,\%> der Glühbirnen defekt sind?
M<{P^{50}_{20 \,\%}}(X \leq 7) \approx 19{,}0 \,\%;>
=item c)
Wie müsste das Entscheidungsverfahren eingerichtet werden, damit der Händler
höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von M<5 \,\%> zu Unrecht einen
Preisnachlass erhält?
M<{P^{50}_{10 \,\%}}(X E c) =
{}1 - {P^{50}_{10 \,\%}}(X \leq c) \stackrel{!}{\leq} 5 \,\%;> ⇔
M<{P^{50}_{10 \,\%}}(X \leq c) \geq 95 \,\%;> ⇔
M
Nimmt man die Hypothese, M übersteige M<10 \,\%>, dann an, wenn M 9>
ist, so ist die Erforderung der Aufgabenstellung erfüllt.
=item d)
Wie müsste die Entscheidungsregel lauten, damit der Händler mit mindestens M<50
\,\%> Wahrscheinlichkeit einen Preisnachlass erhält, wenn M<20 \,\%> der
Glühbirnen defekt sind?
M<{P^{50}_{20 \,\%}}(X E c) =
{}1 - {P^{50}_{20 \,\%}}(X \leq c) \stackrel{!}{\geq} 50 \,\%;> ⇔
M<{P^{50}_{20 \,\%}}(X \leq c) \leq 50 \,\%;> ⇔
M
Nimmt man die Hypothese, M übersteige M<10 \,\%>, dann an, wenn M 9>
ist, so ist die Erforderung der Aufgabenstellung erfüllt.
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