=for timestamp Mo Mär 26 20:30:23 CEST 2007 =head2 148. Hausaufgabe =head3 Stochastik-Buch Seite 350, Aufgabe 11 Ein Elektrohändler vereinbart mit einem Lieferanten von Glühbirnen, dass er einen bestimmten Preisnachlass erhält, falls der Anteil M

an defekten Glühbirnen einer größeren Lieferung M<10 \,\%> übersteigt. Vereinbarungsgemäß werden der ganzen Sendung M<50> Glühbirnen zufällig entnommen und geprüft. Ergeben sich mehr als M<7> defekte Glühbirnen, so soll angenommen werden, M

übersteige M<10 \,\%>. (Bemerkung: Selbstverständlich werden die Glühbirnen ohne Zu­rück­le­gen entnommen. Da es sich aber um eine sehr große Lieferung handelt, macht es für die Rechnung keinen wesentlichen Unterschied, ob mit oder ohne Zurücklegen entnommen wird.) =over =item a) Wie groß ist das Risiko des Lieferanten, einen Preisnachlass gewähren zu müssen, obwohl nur M<10 \,\%> der Glühbirnen defekt sind? M: Anzahl defekter Glühbirnen M<{P^{50}_{10 \,\%}}(X E 7) = {}1 - {P^{50}_{10 \,\%}}(X \leq 7) \approx 12{,}2 \,\%;> =item b) Wie groß ist das Risiko des Händlers, keinen Preisnachlass zu erhalten, obwohl nur M<20 \,\%> der Glühbirnen defekt sind? M<{P^{50}_{20 \,\%}}(X \leq 7) \approx 19{,}0 \,\%;> =item c) Wie müsste das Entscheidungsverfahren eingerichtet werden, damit der Händler höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von M<5 \,\%> zu Unrecht einen Preisnachlass erhält? M<{P^{50}_{10 \,\%}}(X E c) = {}1 - {P^{50}_{10 \,\%}}(X \leq c) \stackrel{!}{\leq} 5 \,\%;> ⇔ M<{P^{50}_{10 \,\%}}(X \leq c) \geq 95 \,\%;> ⇔ M Nimmt man die Hypothese, M

übersteige M<10 \,\%>, dann an, wenn M 9> ist, so ist die Erforderung der Aufgabenstellung erfüllt. =item d) Wie müsste die Entscheidungsregel lauten, damit der Händler mit mindestens M<50 \,\%> Wahrscheinlichkeit einen Preisnachlass erhält, wenn M<20 \,\%> der Glühbirnen defekt sind? M<{P^{50}_{20 \,\%}}(X E c) = {}1 - {P^{50}_{20 \,\%}}(X \leq c) \stackrel{!}{\geq} 50 \,\%;> ⇔ M<{P^{50}_{20 \,\%}}(X \leq c) \leq 50 \,\%;> ⇔ M Nimmt man die Hypothese, M

übersteige M<10 \,\%>, dann an, wenn M 9> ist, so ist die Erforderung der Aufgabenstellung erfüllt. =back