=for timestamp
Mo Okt 24 18:18:25 CEST 2005

=head2 15. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 37, Aufgabe 36

Berechne folgende Integrale durch geometrische Überlegungen

=over

=item a)

M<\int\limits_0^2 x \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2;>

=item b)

M<\int\limits_1^4 x \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left(1 + 4\right) 3 =
\frac{15}{2};>

=item c)

M<\int\limits_{-3}^5 x \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 -
\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 8;>

=item d)

M<\int\limits_0^2 \left(x + 1\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left(1 +
3\right) 2 = 4;>

=item e)

M<\int\limits_1^4 \left(5 - x\right) \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \left(4 +
1\right) 3 = \frac{15}{2};>

=item f)

M<\int\limits_2^{\frac{5}{2}} \left(\frac{1}{2}x + 3\right) \mathrm{d}x =
\frac{1}{2} \left(4 + \frac{17}{4}\right) \frac{1}{2} = \frac{33}{16};>

=back

=head3 Analysis-Buch Seite 38, Aufgabe 41

Ein Körper bewegt sich mit der Geschwindigkeit M<v(t) = t^2 \cdot
\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3}>. Wie groß ist seine mittlere Geschwindigkeit
M<\overline{v}> während der ersten Sekunde, während der ersten zwei Sekunden,
während der ersten zehn Sekunden und während der zweiten Sekunde?

M<\overline{v}_{a,b} = \dfrac{\int_a^b v(t) \,\mathrm{d}t}{b - a} =
\dfrac{\frac{b^3}{3} - \frac{a^3}{3}}{b - a};>

⇒ M<\overline{v}_{0,1}  = \frac{1}{3}   \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};> M<\vspace*{1.0em}\\>
⇒ M<\overline{v}_{0,2}  = \frac{4}{3}   \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};> M<\vspace*{1.0em}\\>
⇒ M<\overline{v}_{0,10} = \frac{100}{3} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};> M<\vspace*{1.0em}\\>
⇒ M<\overline{v}_{1,2}  = \frac{7}{3}   \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};>