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Di Okt 25 17:25:29 CEST 2005

=head2 16. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 72, Aufgabe 68

M<\mathrm{f}_a(x) = \frac{1}{4}\left(ax - 5\right)^2; \quad D_{\mathrm{f}_a} =
\mathds{R}; \quad a \in \mathds{R};>

Jede Scharkurve schließt mit den Randgeraden des Streifens M<0 \leq x \leq 5>
und der M<x>-Achse eine Fläche ein. Bestimme M<a> so, dass der Inhalt am
kleinsten ist (mit Nachweis des Minimums).

M<\forall x \in D_{\mathrm{f}_a}\colon \mathrm{f}_a(x) \geq 0;>

⇒ M<\mathrm{A}(a) = \int\limits_0^5 \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x =
\frac{1}{4}\left[\frac{a^2}{3}x^3 - 5ax^2 + 25x\right]_0^5 =
\frac{1}{4}\left(\frac{a^2}{3} 125 - 125a + 125\right);>

⇒ M<\mathrm{A}'(a) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \mathrm{A}(a) =
\frac{1}{4}\left(\frac{250}{3}a - 125\right);>

⇒ M<\mathrm{A}'(a_0) = 0; \Rightarrow a_0 = \frac{3}{2}; \quad> (VZW von
M<\mathrm{A}'> bei M<\frac{3}{2}> von M<-> nach M<+>)

=head3 Analysis-Buch Seite 72, Aufgabe 70

M<\mathrm{f}_a(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x + a; \quad D_{\mathrm{f}} = \mathds{R};
\quad a \in \mathds{R};>

Bestimme M<a> so, dass M<G_{\mathrm{f}_a}> durch M<(3, -\frac{7}{3})> geht.
Berechne für dieses M<a> den Inhalt des Flächenstücks im 1. und 4. Quadranten,
das die Gerade M<\mathrm{g}(x) = \frac{4}{3}x + \frac{2}{3}> und
M<G_{\mathrm{f}_a}> umschließen.

M<\mathrm{f}_{a_0}(3) = -\frac{7}{3}; \Rightarrow a_0 = \frac{2}{3};>

M<\mathrm{f}_{a_0}(x) = \mathrm{g}(x); \Rightarrow x_1 = -4; \quad x_2 = 0;
\quad x_3 = 4;>

M<\int\limits_0^4 \mathrm{g}(x) \,\mathrm{d}x - \int\limits_0^4
\mathrm{f}_{a_0}(x) \,\mathrm{d}x = \frac{64}{3};>