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Mi Okt 26 17:52:34 CEST 2005

=head2 17. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 72, Aufgabe 62

M<\mathrm{g}(x) = ax^2 + bx + c; \quad D_{\mathrm{g}} = \mathds{R}; \quad a,b,c
\in \mathds{R};>

M<\mathrm{G}(x) = \int\limits_0^x \mathrm{g}(t) \,\mathrm{d}t;>

Der Graph der Integralfunktion M<\mathrm{G}> hat bei M<1> eine waagrechte
Tangente und bei M<\frac{1}{2}> einen Wendepunkt, in dem die Tangente parallel
ist zur Geraden M<y = -\frac{1}{4}x + 4711>. Ermittle die Funktionsterme von
M<\mathrm{G}> und M<\mathrm{g}>.

M<<
{} \renewcommand{\arraystretch}{1.3} \begin{array}{lll}
{}   \text{I.}   & \mathrm{g}(1) = 0; \Rightarrow a + b + c = 0; & \Rightarrow c = -b - a; \\
{}   \text{II.}  & \mathrm{g}'(\frac{1}{2}) = 0; \Rightarrow a + b = 0; & \Rightarrow b = -a; \Rightarrow c = a - a = 0; \\
{}   \text{III.} & \mathrm{g}(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}; \Rightarrow \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c = -\frac{1}{4}; & \Rightarrow a = 1; \Rightarrow b = -a = -1;
{} \end{array}
>>

⇒ M<\mathrm{g}(x) = x^2 - x;> M<\vspace*{0.5em}\\>
⇒ M<\mathrm{G}(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2;>

Nachweis des Wendepunktes von M<G_{\mathrm{G}}> an der Stelle M<\frac{1}{2}>:

VZW von M<\mathrm{g}'> bei M<\frac{1}{2}> von M<-> nach M<+>;