=for timestamp
Mi Nov  2 16:03:28 CET 2005

=head2 18. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 70, Aufgabe 33

Gegeben sind die Funktionen

M<\mathrm{p}\colon x \mapsto \mathrm{p}(x) := -\frac{1}{2}\left(x - 3\right)^2
+ \frac{9}{2}; \quad D_{\mathrm{p}} = \mathds{R};>

M<\mathrm{g}_a\colon x \mapsto \mathrm{g}_a(x) := ax; \quad D_{\mathrm{g}_a} =
\mathds{R}; \quad a \in \mathds{R};>

=over

=item a)

Berechne den Inhalt M<A> der Fläche, die von der Parabel und der M<x>-Achse
eingeschlossen ist.

M<\mathrm{p}(x) = 0; \Rightarrow -\frac{1}{2}x^2 + 3x = 0;>

⇒ M<x_1 = 0; \quad -\frac{1}{2}x_2 = -3; \Rightarrow x_2 = 6;>

⇒ M<\mathrm{p}(x) = -\frac{1}{2}x\left(x - 6\right);>

⇒ VZW von M<-> nach M<+> bei M<0> und von M<+> nach M<-> bei M<6>;

⇒ M<A = \int\limits_0^6 \mathrm{p}(x) \,\mathrm{d}x = \left[-\frac{1}{6}x^3 +
\frac{3}{2}x^2\right]_0^6 = 18;>

=item b)

Berechne die Koordinaten der Punkte M<P> und M<Q>, in denen sich
M<G_{\mathrm{p}}> und M<G_{\mathrm{g}_a}> schneiden.

M<\mathrm{p}(x) = \mathrm{g}_a(x); \Rightarrow -\frac{1}{2}x^2 + 3x = ax;>

⇒ M<x_3 = 0; \quad -\frac{1}{2}x_4^2 + \left(3 - a\right) = 0; \Rightarrow x_4
= 6 - 2a;>

⇒ M<P(0,0); \quad Q(6-2a, 6a-2a^2);>

=item c)

Berechne den Inhalt M<B(a)> der Fläche, die zwischen M<G_{\mathrm{p}}> und
M<G_{\mathrm{g}_a}> liegt.

M<\renewcommand{\arraystretch}{2.0}\begin{array}{rcl}
{} \mathrm{B}(a) &:=& \left| \int\limits_0^{6-2a} \mathrm{p}(x) \,\mathrm{d}x - \int\limits_0^{6-2a} \mathrm{g}_a(x) \,\mathrm{d}x \right| = \biggl| \left[-\frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{2}x^2\right]_0^{6-2a} - \left[\frac{a}{2}x^2\right]_0^{6-2a} \biggr| = \\
{} && \left|-\frac{1}{6}\left(6-2a\right)^3 + \frac{3}{2}\left(6-2a\right)^2 - \frac{a}{2}\left(6-2a\right)^2\right| = \left(6-2a\right)^2 \left|-1 + \frac{1}{3}a + \frac{3}{2} - \frac{a}{2}\right| = \\
{} && \left| \frac{1}{12} \left(6-2a\right)^3 \right| = \frac{2}{3} \left|3-a\right|^3;
\end{array}>

=item d)

Für welchen Wert von M<a> liegt zwischen M<G_{\mathrm{p}}> und
M<G_{\mathrm{g}_a}> keine Fläche? Welche besondere Lage hat dann
M<G_{\mathrm{p}}> zu M<G_{\mathrm{g}_a}>?

M<\mathrm{B}(a) = 0; \Rightarrow 3 - a = 0; \Rightarrow a = 3;>

M<G_{\mathrm{g}_a}> ist dann Tangente von M<G_{\mathrm{p}}> an der Stelle M<0>.
(Beweis: M<\mathrm{g}_3'(0) = \mathrm{p}'(0);>)

=item e)

Eine Gerade durch den Ursprung geht durch den Scheitel der Parabel; diese
Gerade zerlegt die Fläche M<A> von a) in zwei Teilflächen. Berechne das
Verlältnis: größere Teilfläche durch kleinere Teilfläche.

M<\mathrm{p}'(x_5) = 0; \Rightarrow x_5 = 3; \quad \mathrm{p}(3) = 9;>

M<\mathrm{u}(x) := \frac{\mathrm{p}(3)}{6}x = \frac{3}{2}x;>

⇒ M<\dfrac{A - \left(\int\limits_0^3 \mathrm{p}(x) \,\mathrm{d}x -
\int\limits_0^3 \mathrm{u}(x) \,\mathrm{d}x\right)}{\int\limits_0^3
\mathrm{p}(x) \,\mathrm{d}x - \int\limits_0^3 \mathrm{u}(x) \,\mathrm{d}x} =
\dfrac{A}{9 - \frac{27}{4}} - 1 = 7;>

=item f)

Für welchen Wert von M<a> ist M<\mathrm{B}(a)> achtmal so groß wie die Fläche
zwischen der Parabel und der M<x>-Achse?

M<\mathrm{B}(a) = 8 A; \Rightarrow \frac{2}{3}\left|3 - a\right|^3 = 8 A;
\Rightarrow \left(3 - a\right)^3 = \pm 12 A; \Rightarrow a = 3 - \sqrt[3]{\pm
12 A}> "M<=>" M<3 - \sqrt[3]{\pm 216}> "M<=>" M<3 - \pm 2 \cdot 3; \Rightarrow
a_1 = -3; \quad a_2 = 9;>

=item g)

M<\int\limits_c^x \mathrm{p}(t) \,\mathrm{d}t =: \mathrm{I}_c(x);>

Berechne die Integralfunktion M<\mathrm{I}_c> von M<p>.

M<\mathrm{I}_c(x) = \int\limits_c^x \mathrm{p}(t) \,\mathrm{d}t =
\left[-\frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{2}x^2\right]_c^x = \frac{1}{6}\left(-x^3 +
9x^2 + c^3 - 9c^2\right);>

=item h)

Für welche Werte von M<c> ist M<\mathrm{I}_c> symmetrisch zum
Koordinatensystem?

M<\mathrm{I}_c(x) = \mathrm{I}_c(-x); \Rightarrow -1 = 0;>

M<\mathrm{I}_c(x) = -\mathrm{I}_c(-x);> ⇒ (Keine von M<x> unabhängige Aussage)

⇒ Es gibt kein M<c \in \mathds{R}>, für welches M<\mathrm{I}_c> symmetrisch zum
Koordinatensystem ist;

=item i)

Für welche Werte von M<c> geht M<\mathrm{I}_c> durch den Ursprung?

M<\mathrm{I}_c(0) = 0; \Rightarrow -x^3 + 9x^2 + c^3 - 9c^2 = 0;>

⇒ M<c_1 = 0; \quad c_2 - 9 = 0; \Rightarrow c_2 = 9;>

=back


=head3 Analysis-Buch Seite 72, Aufgabe 61

M<\mathrm{f}_a(x) := -\frac{4}{a^2}\left(8 - a\right)\left(x^2 - ax\right);
\quad D_{\mathrm{f}_a} = \mathds{R}; \quad a \neq 0;>

=over

=item a)

Bestimme den Flächeninhalt M<\mathrm{A}(a)> der Fläche zwischen
M<G_{\mathrm{f}_a}> und der M<x>-Achse.

M<\mathrm{f}_a(x) = 0; \Rightarrow x^2 - ax = 0;>

⇒ M<x_1 = 0; \quad x_2 - a = 0; \Rightarrow x_2 = a;>

⇒ M<\mathrm{f}_a(x) = -\frac{4}{a^2}\left(8 - a\right) \cdot x\left(x -
a\right);>

M<\mathrm{A}(a) = \left|\int\limits_0^a \mathrm{f}_a(x) \,\mathrm{d}x\right| =
\biggl|-\frac{4}{a^2}\left(8 - a\right)\left[\frac{x^3}{3} -
\frac{a}{2}x^2\right]_0^a\biggr| = \dfrac{2}{3}\biggl|\left(8 - a\right)
a\biggr|;>

=item b)

Für welche M<a> ist der Inhalt der Fläche M<\mathrm{A}(a)> gleich M<8>?

M<\mathrm{A}(a) = 8; \Rightarrow \frac{2}{3}\left(8 - a\right)a = \pm_1 8;
\Rightarrow \left(8 - a\right)a = \pm_1 12; \Rightarrow -a^2 + 8a \mp_1 12 = 0;>

⇒ M<a_{1,2,3,4} = \dfrac{-8 \pm_2 \sqrt{64 + 4 \cdot \mp_1 12}}{-2} = \dfrac{-8
\pm_2 4\sqrt{4 \mp_1 3}}{-2} = 4 \mp_2 2\sqrt{4 \mp_1 3};>

⇒ M<a_1 = 2; \quad a_2 = 6;> M<\\>
⇒ M<a_3 = 4 + 2\sqrt{7}; \quad a_4 = 4 - 2\sqrt{7};>

(Kontrolle durch Einsetzen in Anfangsgleichung beweist Korrektheit.)

Es gibt aber kein globales Maximum, da M<\mathrm{A}(a) \to \infty> für M<a \to
\pm\infty>.

=item c)

Bestimme M<a> so, dass M<\mathrm{A}(a)> möglichst groß wird. Gib den maximalen
Flächeninhalt an.

M<\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \mathrm{A}(a) =
\operatorname{sgn}\!\left(\frac{2}{3}\left(8-a\right)a\right) \cdot
\frac{2}{3}\left(8 - 2a\right) = 0;> (für M<a \neq 0>)

⇒ M<8 = 2a_5; \Rightarrow a_5 = 4;> (VZW gegeben)

M<\mathrm{A}(4) = \frac{32}{3};>

=item d)

M<\mathrm{F}_4(x) := \int\limits_4^x \mathrm{f}_4(t) \,\mathrm{d}t;>

Bestimme den Term M<\mathrm{F}_4(x)> und alle Nullstellen von M<\mathrm{F}_4>.

M<\mathrm{F}_4(x) = \int\limits_4^x \mathrm{f}_4(t)
\,\mathrm{d}t\int\limits_4^x \mathrm{f}_4(t) \,\mathrm{d}t = -\frac{1}{3}x^3 +
2x^2 - \frac{32}{3};>

Nullstellen: M<\mathrm{F}_4(x) = 0; \Rightarrow x_3 = -2; \quad x_4 = 4;>

=item e)

Berechne die Hoch-, Tief- und Wendepunkte von M<\mathrm{G}_{\mathrm{F}_4}>.

M<\mathrm{f}_4(x) = -x\left(x - 4\right);>

⇒ VZW von M<\mathrm{f}_4> von M<-> nach M<+> bei M<0> und von M<+> nach M<->
bei M<a>;

⇒ M<P_{\text{HOP}}(4, 0);>

⇒ M<P_{\text{TEP}}\!\left(0, -\frac{32}{3}\right);>

M<\mathrm{f}_4'(x) = 4 - 2x = -2 \left(x - 2\right);>

⇒ VZW von M<\mathrm{f}_4'> von M<+> nach M<-> bei M<2>;

⇒ M<P_{\text{WEP}}\!\left(2, -\frac{16}{3}\right);>

=item f)

Skizziere M<G_{\mathrm{f}_4}> und M<G_{\mathrm{F}_4}> in ein und demselben
Koordinatensystem.

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Plot.pm

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ -3.000000 : 6.000000 ]
set yrange [ -12.000000 : 5.000000 ]
set grid
set xtics 1.000000
set ytics 2.000000

# Function definitions
func0(x) = -x*(x-4.)
func1(x) = -1./3.*x**3. + 2.*x**2. - 32./3.

# Plotting
plot func0(x) t "f_4" w l lt 1, func1(x) t "F_4" w l lt 2

=hend

=back


=for timestamp
Mo Nov  7 17:02:50 CET 2005

"Und das kann man zweimal unterstreichen, wenn das einen befriedigt"

"[Jeder ist] defizitär"

"Mei' Doofheit hat halt keine Grenzen"