=for timestamp
Sa Sep 17 17:53:34 CEST 2005

=head2 2. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 14, Aufgabe 4

Berechne

=over

=item a)

M<< \int \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \int \left|x\right| \mathrm{d}x = \mathrm{F}_C(x) = \begin{cases}
{}  \frac{1}{2} x^2 + C & \text{f"ur } x E<gt> 0; \\
{}                    C & \text{f"ur } x   =   0; \\
{} -\frac{1}{2} x^2 + C & \text{f"ur } x E<lt> 0;
\end{cases} >>

Diffbarkeit für M<x E<gt> 0> und M<x E<lt> 0> gesichert, Nachweis des Falles
für M<x = 0>:

M<< \left.\begin{array}{l}
{} \lim\limits_{x \to 0+} \mathrm{F}'(x) = \lim\limits_{x \to 0-} \mathrm{F}'(x) = 0 = \mathrm{f}(0); \\
{} \mathrm{f} \text{ stetig bei } 0;
\end{array}\right\} \Rightarrow \text{Ermitteltes } \mathrm{F}_C \text{ ok} >>

=item b)

M<\int \mathrm{sgn}\, x \,\mathrm{d}x = \begin{cases}
{} x  + C_1 & \text{f"ur } x E<gt> 0; \\
{} -x + C_2 & \text{f"ur } x E<lt> 0;
\end{cases} \quad x \neq 0;>

=back


=head3 Analysis-Buch Seite 14, Aufgabe 5

M<< \mathrm{f}\colon x \mapsto \begin{cases}
{}  x   & \text{f"ur } x \leq  0; \\
{}  x^2 & \text{f"ur } x E<gt> 0;
\end{cases} >>

Berechne M<\int \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x>.

M<< \int \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{F}_C(x) = \begin{cases}
{}  \frac{1}{2}x^2 + C & \text{f"ur } x \leq  0; \\
{}  \frac{1}{3}x^3 + C & \text{f"ur } x E<gt> 0;
\end{cases} >>

Überprüfung des Falles für M<x = 0>:

M<< \left.\begin{array}{l}
{} \lim\limits_{x \to 0-} \mathrm{F}'(x) = \lim\limits_{x \to 0+} \mathrm{F}'(x) = \mathrm{f}(0); \\
{} \mathrm{F}_C \text{ stetig bei } 0;
\end{array}\right\} \Rightarrow \text{Ermitteltes } \mathrm{F}_C \text{ ok} >>


=head3 Analysis-Buch Seite 14, Aufgabe 6

Gegeben sind die Funktionen M<\mathrm{a}> big M<\mathrm{g}>, bestimme die
Scharen der zugehörigen Stammfunktionen M<\mathrm{A}_c> bis M<\mathrm{G}_c>.

M<< \renewcommand{\arraystretch}{1.5}\begin{array}{ll}
{} \mathrm{a}(x)   = 6 - \frac{1}{24}x^2; & \Rightarrow
{} \mathrm{A}_c(x) = 6x - \frac{1}{72}x^3 + C; \\
{} \mathrm{b}(x)   = x^3 - 3x - 2; & \Rightarrow
{} \mathrm{B}_c(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 - 2x + C; \\
{} \mathrm{c}(x)   = -x^3 + 3x^2 - 2; & \Rightarrow
{} \mathrm{C}_c(x) = -\frac{1}{4}x^4 + x^3 - 2x + C; \\
{} \mathrm{d}(x)   = x^4 - 6x^2 + 5; & \Rightarrow 
{} \mathrm{D}_c(x) = \frac{1}{5}x^5 - 2x^3 + 5x + C; \\
{} \mathrm{e}(x)   = \frac{1}{9}x^4 - \frac{8}{9}x^3 + 2x^2; & \Rightarrow
{} \mathrm{E}_c(x) = \frac{1}{45}x^5 - \frac{2}{9}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + C; \\
{} \mathrm{f}(x)   = \frac{1}{40}x^5 - \frac{1}{8}x^4; & \Rightarrow
{} \mathrm{F}_c(x) = \frac{1}{240}x^6 - \frac{1}{40}x^5 + C; \\
{} \mathrm{g}(x)   = -\frac{1}{16}x^6 + \frac{3}{8}x^4; & \Rightarrow
{} \mathrm{G}_c(x) = -\frac{1}{112}x^7 + \frac{3}{40}x^5 + C;
\end{array} >>