=for timestamp
Di Nov 15 15:41:43 CET 2005

=head2 21. Hausaufgabe

=head3 Differenzen zwischen Folgegliedern

M<a_n = 3 \cdot 1{,}8^n;>

=table M<n> | M<a_n> | Differenz (gerundet) | Differenz der Differenz
(gerundet) | Differenz der Differenz der Differenz (gerundet) 
=row M<0> | M<3> | M<2> | M<1> | M<1>
=row M<1> | M<5> | M<4> | M<3> | M<2>
=row M<2> | M<9> | M<7> | M<6> | M<4>
=row M<3> | M<17> | M<13> | M<11> | M<8>
=row M<4> | M<31> | M<25> | M<20> | M<16>
=row M<5> | M<56> | M<45> | M<36> | M<29>
=row M<6> | M<102> | M<81> | M<65> | M<52>
=row M<7> | M<183> | M<146> | M<117> | M<94>
=row M<8> | M<330> | M<264> | M<211> | M<169>
=row M<9> | M<595> | M<476> | M<380> | M<304>
=row M<10> | M<1071> | M<856> | M<685> | M<548>
=row M<11> | M<1928> | M<1542> | M<1233> | M<987>
=row M<12> | M<3470> | M<2776> | M<2221> | M<1776>
=row M<13> | M<6246> | M<4997> | M<3998>
=row M<14> | M<11244> | M<8995>
=row M<15> | M<20239>

=for comment
#!/usr/bin/perl
use warnings; use strict;
sub a { 3 * 1.8**$_[0] }
my @a  = map { a($_) } 0..15;
my @d1 = map { $a[$_ + 1]  - $a[$_]  } 0..14;
my @d2 = map { $d1[$_ + 1] - $d1[$_] } 0..13;
my @d3 = map { $d2[$_ + 1] - $d2[$_] } 0..12;
for(0..15) {
  my $str = sprintf '=row M<%s> | M<%d> | M<%d> | M<%d> | M<%d>',
    $_, $a[$_], $d1[$_], $d2[$_], $d3[$_];
  $str =~ s/\./{,}/g;
  print "$str\n";
}

M<\Delta a_n = a_{n + 1} - a_n = 3 \cdot 1{,}8^{n+1} - 3 \cdot 1{,}8^n = 3
\cdot \left(1{,}8 - 1\right) \cdot 1{,}8^n = 2{,}4 \cdot 1{,}8^n;>

M<\Delta^2 a_n = \Delta \left(\Delta a_n\right) = 2{,}4 \cdot 1{,}8^{n + 1} -
2{,}4 \cdot 1{,}8^n = 2{,}4 \cdot \left(1{,}8 - 1\right) 1{,}8^n = 1{,}92 \cdot
1{,}8^n;>

M<\Delta^k a_n = \Delta \left(\Delta \left(\cdots a_n\right)
\cdots\right) = 3 \cdot 0{,}8^k \cdot 1{,}8^n;>

⇒ M<\Delta^k a_n \stackrel{\text{!}}{=} 0; \Rightarrow 3 \cdot 0{,}8^k \cdot
1{,}8^n \stackrel{\text{!}}{=} 0;>

⇒ Es gibt kein M<k \in \mathds{N}>, für das M<\Delta^k a_n> M<0> wäre.

=head3 Differenzen zwischen Folgegliedern

M<c_n = n^3;>

M<\Delta c_n = c_{n+1} - c_n = \left(n + 1\right)^3 - n^3 = \cdots =
n^3+3n^2+2n+1;>

M<\Delta^2 c_n = \Delta \left(\Delta c_n\right) =
\left(n+1\right)^3+3\left(n+1\right)^2+2\left(n+1\right)+1 - n^3-3n^2-2n-1 =
\cdots = 3n^2 + 9n + 6;>

M<\Delta^3 c_n = \Delta \left(\Delta \left(\Delta c_n\right)\right) =
3\left(n+1\right)^2 + 9\left(n+1\right) + 6 - 3n^2 - 9n - 6 = \cdots = 6n +
12;>

M<\Delta^4 c_n = \Delta \left(\Delta \left(\Delta \left(\Delta
c_n\right)\right)\right) = 6\left(n+1\right) + 12 - 6n - 12 = 6;>

=head3 Augensummen bei Würfelwürfen

=over

=item Wurf von M<n> Würfeln

M<s \in \left\{ n, n + 1, \ldots, 6n - 1, 6n \right\};>

=item Wurf von M<10^9> Würfeln

M<s \in \left\{ 10^9, 10^9 + 1, \ldots, 6 \cdot 10^9 - 1, 6 \cdot 10^9 \right\};>

=item Wurf von M<10^6> Würfeln

M<s \in \left\{ 10^6, 10^6 + 1, \ldots, 6 \cdot 10^6 - 1, 6 \cdot 10^6 \right\};>

=item Wurf von M<10^3> Würfeln

M<s \in \left\{ 1000, 1001, \ldots, 5999, 6000 \right\};>

=item Wurf von M<10^2> Würfeln

M<s \in \left\{ 100, 101, \ldots, 599, 600 \right\};>

=item Wurf von M<10^1> Würfeln

M<s \in \left\{ 10, 11, \ldots, 59, 60 \right\};>

=item Wurf von M<10^0> Würfeln

M<s \in \left\{ 1, 2, \ldots, 5, 6 \right\};>

=back


=for timestamp
Mi Nov 16 15:14:03 CET 2005

=head3 Exzerpt von Kapitel 1 des Stochastik-Buchs ("Zufallsexperimente")

=over

=item *

Experimente können I<determiniert> oder I<zufällig> sein.

=item *

Determinierte Experimente lassen sich beliebig oft wiederholen; ihr Ausgang
unterscheidet sich nie.

=item *

Der Ausgang zufälliger Experimente ist nicht vorhersagbar; der Ausgang kann
sich unterscheiden.

=item *

Experimente werden auch dann als "zufällig" bezeichnet, wenn sie theoretisch
zwar determiniert wären, aber so viele Variablen im Spiel sind, dass eine
genaue Vorhersage in der Praxis unmöglich wird.

=back


=for timestamp
Do Nov 17 16:42:00 CET 2005

=head3 Wertetabelle der Funktionen M<\mathrm{F}_k> und M<\mathrm{F}_l> der
Aufgabe 5 der 1. Klausur

=table M<x> | M<\mathrm{F}_k(x)>                    | M<\mathrm{F}_l(x)>
=row   M<a> | M<\mathrm{F}_k(0) + A = \frac{1}{2}A> | M<\mathrm{F}_l(0) + A = -\frac{1}{2}A>
=row   M<0> | M<-A + \frac{1}{2}A = -\frac{1}{2}A>  | M<-2A + \frac{1}{2}A = -\frac{3}{2}A>
=row        | M<-A>                                 | M<\mathrm{F}_l(k) - A = -2A>
=row   M<k> | M<0>                                  | M<\mathrm{F}_l(l) - A = -A>
=row   M<l> | M<\mathrm{F}_k(k) + A = A>            | M<0>
=row        | M<\mathrm{F}_k(l) - A = 0>            | M<-A>
=row   M<b> | M<\frac{3}{2}A>                       | M<-A + \frac{3}{2}A = \frac{1}{2}A>


=for timestamp
Sa Nov 19 15:18:40 CET 2005

[Vielzahl von undeterminierten Systemen → sehr scharfes System]

"Das Wesen der Mathematik ist weder logisch noch unlogisch, sie ist a-logisch."

"[die entscheidensten Fragen haben keine Antwort]"

"bloß wir beten dem in der Schule immer wieder [...]"