=for timestamp
Di Nov 22 17:07:07 CET 2005

=head2 24. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 21, Aufgabe 6

Ein Würfel wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal M<6> erscheint, aber
höchstens drei Mal. Geben Sie einen geeigneten Ergebnisraum an.

M<\Omega = \left\{ (6), (1,6), (2,6), \ldots, (1,1,6), (1,2,6), \ldots (1,1,1),
(1,1,2), \ldots, (5,5,5) \right\};>

=head3 Stochastik-Buch Seite 21, Aufgabe 7

Eine Münze und ein Würfel werden gleichzeitig geworfen. Geben Sie einen
Ergebnisraum an. Wie viele Elemente enthält er?

M<\Omega = \left\{ \left\{\text{z},1\right\}\!, \left\{\text{z},2\right\}\!,
\ldots, \left\{\text{z},6\right\}\!, \left\{\text{k},1\right\}\!,
\left\{\text{k},2\right\}\!, \ldots, \left\{\text{k},6\right\} \right\};>

M<\left|\Omega\right| = 6 \cdot 2 = 12;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 21, Aufgabe 8

Eine Münze und ein Würfel werden nacheinander geworfen. Gesucht sind ein
geeigneter Ergebnisraum und dessen Mächtigkeit.

M<\Omega = \left\{ \left\{\text{z},1\right\}\!, \left\{\text{z},2\right\}\!,
\ldots, \left\{\text{z},6\right\}\!, \left\{\text{k},1\right\}\!,
\left\{\text{k},2\right\}\!, \ldots, \left\{\text{k},6\right\} \right\};>

M<\left|\Omega\right| = 6 \cdot 2 = 12;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 21, Aufgabe 9

In einer Urne befinden sich fünf von M<1> bis M<5> nummerierte Kugeln.

=over

=item a)

Es werden zwei Kugeln gleichzeitig geogen. Geben Sie einen Ergebnisraum an.
Welche Mächtigkeit hat er?

M<\Omega = \left\{ \left\{1,2\right\}\!, \left\{1,3\right\}\!, \ldots,
\left\{5,4\right\} \right\};>

M<\left|\Omega\right| = 5 \cdot 4 : 2 = 10;>

=item b)

Es werden drei Kugeln gleichzeitig geogen. Wie lautet jetzt der Ergebnisraum?

M<\Omega = \left\{ \left\{1,2,3\right\}\!, \left\{1,2,4\right\}\!, \ldots,
\left\{5,4,3\right\} \right\};>

Vergleichen Sie seine Mächtigkeit mit der von a).

M<\left|\Omega\right| = 5 \cdot 4 \cdot 3 : 3! = 10;>

Wie lässt sich das Ergebnis anschaulich begründen?

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 21, Aufgabe 10

In einer Urne befindne sich eine weiße, zwei schwarze und drei rote Kugeln. Es
werden zwei Kugeln gezogen

=over

=item a)

nacheinander ohne Zurücklegen.

M<\Omega = \left\{ (\text{w},\text{s}), (\text{w},\text{r}),
(\text{s},\text{w}), (\text{s},\text{s}), (\text{s},\text{r}),
(\text{r},\text{w}), (\text{r},\text{s}), (\text{r},\text{r}) \right\};>

M<\left|\Omega\right| = 8;>

=helper MyBook::Helper::Graphviz

digraph a {
  r  -> { w1  s1  r1  };
  w1 -> { s21 r21     };
  s1 -> { w22 s22 r22 };
  r1 -> { w23 s23 r23 };

  r [style=invis, label="", fixedsize=true, height=0, width=0];
  w1  [label="w"];
  w22 [label="w"];
  w23 [label="w"];
  s1  [label="s"];
  s21 [label="s"];
  s22 [label="s"];
  s23 [label="s"];
  r1  [label="r"];
  r21 [label="r"];
  r22 [label="r"];
  r23 [label="r"];
}

=hend

=item b)

mit Zurücklegen der Kugel nach jedem Zug.

M<\Omega = \left\{ (\text{w},\text{w}), \ldots, (\text{r},\text{r}) \right\};>

M<\left|\Omega\right| = 3 \cdot 3 = 9;>

=helper MyBook::Helper::Graphviz

digraph a {
  r  -> { w1  s1  r1  };
  w1 -> { w21 s21 r21 };
  s1 -> { w22 s22 r22 };
  r1 -> { w23 s23 r23 };

  r [style=invis, label="", fixedsize=true, height=0, width=0];
  w1  [label="w"];
  w21 [label="w"];
  w22 [label="w"];
  w23 [label="w"];
  s1  [label="s"];
  s21 [label="s"];
  s22 [label="s"];
  s23 [label="s"];
  r1  [label="r"];
  r21 [label="r"];
  r22 [label="r"];
  r23 [label="r"];
}

=hend

=back