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Mi Nov 23 17:07:48 CET 2005

=head2 25. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 21, Aufgabe 11

Beim Kinderspiel "Knobeln", bei dem zwei Spieler gleichzeitig eine Hand öffnen,
kommt es darauf an, dieselbe Anzahl von Fingern zu zeigen wie der andere.
Stellen Sie den Ergebnisraum dieses Spiels dar und berechnen Sie seine
Mächtigkeit.

M<\Omega = \left\{ (1,1), (1,2), \ldots, (5,5) \right\};>

M<\left|\Omega\right| = 5 \cdot 5 = 25;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 21, Aufgabe 12

Beim Spiel "Papier-Schere-Stein" müssen zwei Spieler auf ein Signal entweder
die offene Hand (Papier), zwei Finger (Schere) oder die Faust (Stein) zeigen,
wobei der jeweilige Sieger nach festen Regeln ermittelt wird: Die Schere
schneidet das Papier, das Papier wickelt den Steick ein, der Steich macht die
Schere stumpf. Es gewinnt Schere gegen Papier, Papier gegen Stein, Stein gegen
Schere.

Stellen Sie den Ergebnisraum dar und geben Sie seine Mächtigkeit an.

M<\Omega = \left\{ (\text{Papier},\text{Papier}),
(\text{Papier},\text{Schere}), \ldots \right\};>

M<\left|\Omega\right| = 3 \cdot 3 = 9;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 21, Aufgabe 13

Zum M<n>-maligen Münzwurf mit den Seiten Kopf und Zahl und zum M<n>-maligen
Würfelwurf mit den Augenzahlen M<1> bis M<6> sollen die Mächtigkeiten angegeben
werden.

M<\left|\Omega_{n,\text{Münz}}\right| = 2^n;>

M<\left|\Omega_{n,\text{Würfel}}\right| = 6^n;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 21, Aufgabe 14

Ein Arzt hat an einem Vormittag drei Patienten zu operieren. Die Reihenfolge
sei zufällig.

Wie viele Möglichkeiten gibt es?

M<\left|\Omega_3\right| = 3! = 6;>

Wie viele Möglichkeiten gibt es bei vier Patienten?

M<\left|\Omega_4\right| = 4! = 24;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 21, Aufgabe 15

Drei nicht unterscheidbare Kugeln sollen zufällig auf drei Zellen mit den
Nummern M<1>, M<2>, M<3> verteilt werden, wobei eine Zelle bis zu drei Kugeln
aufnehmen kann. Sind beispielsweise zwei Kugeln in der ersten Zelle und eine in
der dritten, so drücken wir das Ergebnis aus in der Form
M<\left\{1,1,3\right\}>. Entsprechend stellt man die anderen Verteilungen dar.

=over

=item a)

Stellen Sie die möglichen Ergebnisse dar.

M<\Omega = \left\{ \left\{1,1,1\right\}\!, \left\{1,1,2\right\}\!,
\left\{1,1,3\right\}\!, \left\{1,2,3\right\}\!, \left\{2,2,1\right\}\!,
\left\{2,2,2\right\}\!, \left\{2,2,3\right\}\!, \left\{3,3,1\right\}\!,
\left\{3,3,2\right\}\!, \left\{3,3,3\right\} \right\};>

=item b)

Man kann die Verteilungen auch durch die Höchstzahl der Kugeln in einer der
drei Zellen beschreiben. Stellen Sie den vergröberten Ergebnisraum dar.

M<\Omega' = \left\{ 1, 2, 3 \right\};>

=item c)

Kennzeichnen Sie die Abbildung des Ergebnisraums zu a) auf den Ergebnisraum zu
b) durch ein Pfeildiagramm.

M<\mathrm{f}: \omega \mapsto \operatorname{max} \left\{ V_{\Omega'}(1),
V_{\Omega'}(2), V_{\Omega'}(3) \right\};>

=item d)

Wie sieht das Pfeildiagramm aus, wenn die Verteilungen durch die kleinste Zahl
von Kugeln in irgendeiner Zelle gekennzeichnet werden und wie lautet jetzt der
Ergebnisraum?

M<\mathrm{g}: \omega \mapsto \operatorname{min} \left\{ V_{\Omega'}(1),
V_{\Omega'}(2), V_{\Omega'}(3) \right\};>

=back


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Fr Nov 25 16:41:48 CET 2005

"Der Dominik ist da, und der Dominik ist da, und der Ralph ist da, und der
Dominik ist da -- also ist der Raum voll, die anderen müssen raus"