=for timestamp
Fr Nov 25 16:45:03 CET 2005

=head2 26. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 22, Aufgabe 16

Fünf weiße Kugeln mit den Nummern M<1> bis M<5> und vier rote Kugeln mit den
Bezeichnungen M<a>, M<b>, M<c>, M<d> sollen auf alle möglichen Arten so in
einer Reihe angeordnet werden, dass die Farben wechseln. Auf wie viele Arten
kann dies geschehen?

Hinweis: Überlegen Sie, auf wie viele Arten die Plätze in der speziellen
Anordnung besetzbar sind.

M<\left|\Omega\right| = 5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot
1 \cdot 1 = 5! \cdot 4! = 2880;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 22, Aufgabe 17

Ein Autokennzeichen besteht neben dem Städtesymbol aus einem oder zwei
Buchstaben sowie aus einer ein- bis vierzifferigen von Null verschiedenen Zahl.
Wie viele verschiedene Kennzeichen können so in dieser Stadt ausgegeben werden,
wenn M<26> Buchstaben zur Wahl stehen?

M<\left|\Omega\right| = 26 \cdot 27 \cdot 9999 = 7\thinspace019\thinspace298;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 87, Aufgabe 1

Berechen Sie die Anzahl der M<2>-Tupel aus M<\left\{ 1,2,3 \right\}> und
stellen Sie diese dar.

M<\left|M\right| = 3^2 = 9;>

M<M = \left\{ (a,b) \bigm| a,b \in \left\{ 1,2,3 \right\} \right\};>

=head3 Stochastik-Buch Seite 87, Aufgabe 2

=over

=item a)

Berechnen Sie die Anzahl der M<3>-Tupel aus M<\left\{ 1,2,3,4 \right\}>.

M<4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 = 64;>

=item b)

Berechnen Sie die Anzahl der M<3>-Tupel aus M<\left\{ 1,2,3,4 \right\}>, die
mit M<3> beginnen.

M<1 \cdot 4 \cdot 4 = 16;>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 87, Aufgabe 3

Geben Sie die Anzahl der fünfzifferigen Zahlen an, die mit den Ziffern M<1> und
M<9> bzw. M<0>,M<1>,M<9> geschrieben werden können.

M<\left|\Omega_1\right| = 2^5 = 32;>

=for comment_falsch_aus_mehreren_gruenden_klammer_zu
M<\left|\Omega_2\right| = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^4 =
162;>

M<\left|\Omega_2\right| = 3^5 = 243;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 87, Aufgabe 4

Das genetische Alphabet besteht aus den vier Buchstaben:

M<A = \text{Adenin}>, M<C = \text{Cytosin}>, M<G = \text{Guanin}>, M<T =
\text{Thymin}>.

Eine Sequenz von jeweils drei dieser Buchstaben (Reihenfolge wesentlich) auf
einem Strang der Doppelhelix der DNS ist der Code für die Synthetisierung einer
speziellen Arminosäure. Dabei kann in einer derartigen Sequenz ein Buchstabe
auch mehrmals auftreten. Wie viele Sequenzen sind möglich?

M<4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 = 64;>

=begin zu-viel-gemacht

=head3 Stochastik-Buch Seite 87, Aufgabe 5

Die Zeichen des Morsealphabets -- benannt nach dem amerikanischen Erfinder
Samuel Morse (1791--1872) -- sind aus zwei Elementen, Punkt und Strich
zusammengesetzt, wobei ein Zeichen aus höchstens fünf Elementen besteht. Wie
viele Zeichen können so gebildet werden? (Berechnen Sie jeweils die Anzahl der
M<k>-elementigen Zeichen für M<k = 1,2,3,4,5> und die Summe.)

M<2 + 2\cdot2 + 2\cdot2\cdot2 + 2\cdot2\cdot2\cdot2 + 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2
= 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 - 1 = 62;>

=end zu-viel-gemacht

=head3 Exzerpt der Kapitel 7.1--7.3 des Stochastik-Buchs

=over

=item *

Unter einem M<k>-Tupel aus einer M<n>-Menge versteht man einen M<k>-Tupel, bei
dem jede der M<k> Stellen mit einem Element der Menge besetzt werden kann.

=item *

Die Anzahl der M<k>-Tupel aus einer M<n>-Menge ist M<n^k>.

=item *

Unter einer M<n>-Permutation aus einer M<n>-Menge versteht man ein M<n>-Tupel
mit M<n> verschiedenen Elementen aus der Menge.

=item *

Die Anzahl der Permutationen aus einer M<n>-Menge ist M<n!>.

=back