=for timestamp
Mi Nov 30 20:39:07 CET 2005

=head2 29. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 95, Aufgabe 24 [in der Schule gemacht]

Auf wie viele Arten lassen sich M<15> nummerierte Kugeln so auf vier Fächer
verteilen, dass das erste Fach M<4>, das zweite M<5>, das dritte und vierte je
M<3> Kugeln enthält? (Lösung mit Binomialkoeffizienten.)

M<\binom{15}{4} \binom{11}{5} \binom{6}{3} \binom{3}{3} =
12\thinspace612\thinspace000;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 95, Aufgabe 25 [in der Schule gemacht]

Ein Skatspiel wird ausgeteilt. Drei Spieler M<A>,M<B>,M<C> bekommen je M<10>
Karten, M<2> Karten kommen in den Skat.

=over

=item a)

Auf wie viele Arten können die Karten ausgeteilt werden?

M<\binom{32}{10} \binom{22}{10} \binom{12}{10} \binom{2}{2} \approx 2{,}8 \cdot
10^{15};>

=item b)

Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei denen M<A> zwei Buben und M<B> und M<C>
jeweils einen Buben bekommen? (Lösung mit Binomialkoeffizienten.)

M<\binom{28}{8} \binom{20}{9} \binom{11}{9} \binom{2}{2} \cdot \binom{4}{2}
\binom{2}{1} \binom{1}{1} \approx 3{,}5 \cdot 10^{14};>

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=head3 Stochastik-Buch Seite 96, Aufgabe 27 [in der Schule gemacht]

Es sei M<A = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}>.

=over

=item a)

Bilden Sie alle M<2>-Tupel aus M<A>.

M<\Omega = \left\{ (a,b) \bigm| a,b \in A \right\};>

M<\left|\Omega\right| = 4^2 = 16;>

=item b)

Bilden Sie alle M<2>-Permutationen aus M<A>.

M<\Omega = \left\{ (a,b) \bigm| a,b \in A \wedge a \neq b \right\};>

M<\left|\Omega\right| = 4 \cdot 3 = 12;>

=item c)

Bilden Sie alle M<2>-Teilmengen aus M<A>.

M<\Omega = \left\{ \left\{a,b\right\} \bigm| \left\{a,b\right\} \subset A
\right\};>

M<\left|\Omega\right| = \binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6;>

=item d)

Bilden Sie alle M<2>-Kombinationen aus M<A>.

=for latex
$\Omega = \left\{ \left\{_{\tiny\text{M}}a,b\right\} \bigm| a,b \in A
\right\};$\par{}

=for xhtml
<p>[Angabe von Ω nur in PDF-Version]</p>

M<\left|\Omega\right| = \binom{4 + 2 - 1}{2} = 10;>

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=head3 Stochastik-Buch Seite 96, Aufgabe 30 [in der Schule gemacht]

Dominosteine haben die Form doppelter Quadrate. Jedes Quadrat trägt eine
Augenzahl von M<0> bis M<6>. Wie viele Steine gibt es?

M<\binom{7}{2} + 7 = \frac{7^2 + 7}{2} = 28;>


=for timestamp
Do Dez  1 18:53:26 CET 2005

=head3 Exzerpt der Kapitel 7.4--7.5 und 7.7--7.8 des Stochastik-Buchs

=over

=item *

Eine M<k>-Permutation aus einer M<n>-Menge mit Wiederholung ist ein M<k>-Tupel,
dessen Komponenten mit Elementen aus der Menge besetzt werden. Dabei ist
Wiederholung zulässig, also ist M<k E<gt> n>.

Die Anzahl dieser Permutationen errechnet sich durch Bildung des Quotienten aus
M<k!> und den "ausgleichenden Faktoren" (die selbst auch Fakultäten sind).

=item *

Eine M<k>-Permutation aus einer M<n>-Menge ohne Wiederholung ist ein
M<k>-Tupel, bei dem jede Komponente mit einem anderen Element aus der Menge
besetzt werden muss, also ist M<k \leq n>.

Die Anzahl dieser Permutationen ist M<\frac{n!}{\left(n - k\right)!}>.

=item *

Eine M<k>-Kombination aus einer M<n>-Menge ist eine Multimenge, deren
Gesamtzahl an Elementen (kommt also beispielsweise ein Element doppelt vor,
zählt es auch zweifach) gleich M<k> ist. Die Multimenge wird mit Elementen aus
der M<n>-Menge besetzt, wobei Wiederholungen zugelassen sind.

Die Anzahl dieser Kombinationen ist M<\binom{n + k - 1}{k}>.

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