=for timestamp
Fr Dez  9 17:30:25 CET 2005

=head2 33. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 29, Aufgabe 4

M<A> und M<B> seien zwei Ereignisse. Drücken Sie folgende Aussagen symbolisch
aus:

=over

=item a)

Beide Ereignisse treten ein.

M<A \cap B>

=item b)

Höchstens eines von beiden Ereignissen tritt ein.

M<\left(A \cap \overline{B}\right) \cup \left(\overline{A} \cap B\right) \cup
\left(\overline{A} \cap \overline{B}\right)>

=item c)

Keines von beiden Ereignissen tritt ein.

M<\overline{A} \cap \overline{B}>

=item d)

Mindestens eines von beiden Ereignissen tritt ein.

M<A \cup B>

=item e)

Genau eines von beiden Ereignissen tritt ein.

M<\left(A \cap \overline{B}\right) \cup \left(\overline{A} \cap B\right)>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 30, Aufgabe 6

In einem Kraftwerk wird die Haverie einer Anlage von drei unabhängig
voneinander arbeitenden Kontrollsignalen angezeigt. Diese unterliegen einer
gewissen Störanfälligkeit. M<S_i> sei das Ereignis: "Das M<i>-te Signal
funktioniert" (M<i = 1,2,3>). Drücken Sie die folgenden Ereignisse durch die
M<S_i> aus:

=over

=item *

M<A>: "Alle drei Signale funktionieren"

M<A = S_1 \cap S_2 \cap S_3;>

=item *

M<B>: "Kein Signal funktioniert"

M<B = \overline{S_1} \cap \overline{S_2} \cap \overline{S_3};>

=item *

M<C>: "Mindestens ein Signal funktioniert"

M<C = S_1 \cup S_2 \cup S_3;>

=item *

M<D>: "Genau zwei von drei Signalen funktionieren"

M<D = \left(S_1 \cap S_2 \cap \overline{S_3}\right) \cup \left(S_1 \cap
\overline{S_2} \cap S_3\right) \cup \left(\overline{S_1} \cap S_2 \cap
S_3\right);>

=item *

M<E>: "Mindestens zwei der drei Signale funktionieren"

M<E = \left(S_1 \cap S_2\right) \cup \left(S_1 \cap S_3\right) \cup \left(S_2
\cap S_3\right);>

=item *

M<F>: "Genau ein Signal funktioniert"

M<F = \left(S_1 \cap \overline{S_2} \cap \overline{S_3}\right) \cup
\left(\overline{S_1} \cap S_2 \cap \overline{S_3}\right) \cup
\left(\overline{S_1} \cap \overline{S_2} \cap S_3\right);>

=back

=head3 Exzerpt der Kapitel 5.1--5.3 des Stochastik-Buchs

=over

=item *

Der Anteil der für ein Ereignis günstiger Fälle an den insgesamt möglichen
Fällen ist nach der Anteilsregel die Chance für das Eintreten des Ereignisses.

=item *

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit M<P(A)> eines Ereignisses M<A> ist M<P(A) =
\frac{\left| A \right|}{\left| \Omega \right|}>.

=item *

Dabei muss M<\Omega> endlich sein und jedes Elementarergebnis muss die gleiche
Wahrscheinlichkeit besitzen. Experimente, denen man Ergebnisräume zuordnet, die
diese Eigenschaften erfüllen, heißen Laplace-Experimente.

=back

M<\Omega> beschreibt ein Laplace-Experiment ⇒

=over

=item *

M<\forall A \subset \Omega: P(A) \in \mathds{Q} \cap \left[0, 1\right];>

=item *

M<P(\varnothing) = 0;>

=item *

M<P(\Omega) = 1;>

=item *

M<\forall A \subset \Omega: P(A) + P(\overline{A}) = 1;>

=item *

M<\forall A \subset \Omega: \left\{\begin{array}{@{}l@{}}
{} A = A_1 \cup A_2 \cup \cdots A_n; \\
{} A_i \cap A_j = \varnothing; \quad i,j = 1,2,\ldots,n; i \neq j;
\end{array}\right\} \Rightarrow \vspace*{2mm}\\ P(A) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots + P(A_n);>

=back