=for timestamp
Mi Dez 14 14:39:44 CET 2005

=head2 36. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 104, Aufgabe 37

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit zwei Würfeln

=over

=item a)

Augensumme M<7> oder M<11>,

=item b)

eine gerade Augensumme und

=item c)

eine ungerade Augensumme zu werfen.

=back

M<\Omega = \left\{ 1,2,\ldots,6 \right\}^2;> (Laplace)

⇒ M<\left|\Omega\right| = 6^2 = 36;>

=over

=item a)

M<E_7 = \left\{ (a,b) \bigm| (a,b) \in \Omega \wedge a + b = 7 \right\};>

M<a + b = 7; \Rightarrow a = 7 - b;>

M<1 \leq 7 - b \leq 6; \Rightarrow b \in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\};>

⇒ M<P(E_7) = \frac{\left|E_7\right|}{\left|\Omega\right|} = \frac{1}{6};>

=for latex
\vspace{1em}

M<E_{11} = \left\{ (a,b) \bigm| (a,b) \in \Omega \wedge a + b = 11 \right\};>

M<a + b = 11; \Rightarrow a = 11 - b;>

M<1 \leq 11 - b \leq 6; \Rightarrow b \in \left\{ 5,6 \right\};>

⇒ M<P(E_{11}) = \frac{\left|E_{11}\right|}{\left|\Omega\right|} = \frac{1}{18};>

=item b)

M<E_{\text{gerade}} = \left\{ (a,b) \bigm| (a,b) \in \Omega \wedge \left(a +
b\right) \bmod 2 = 0 \right\};>

⇒ M<P(E_{\text{gerade}}) =
\frac{\left|E_{\text{gerade}}\right|}{\left|\Omega\right|} = \frac{18}{36} =
\frac{1}{2};>

=item c)

M<E_{\text{ungerade}} = \left\{ (a,b) \bigm| (a,b) \in \Omega \wedge \left(a +
b\right) \bmod 2 \neq 0 \right\};>

⇒ M<P(E_{\text{ungerade}}) =
\frac{\left|E_{\text{ungerade}}\right|}{\left|\Omega\right|} = \frac{18}{36} =
\frac{1}{2};>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 104, Aufgabe 39

Ein Würfel wird dreimal geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten
folgender Ereignisse:

=over

=item *

M<A_1>: "Augenzahl M<6> nur beim 1. Wurf"

M<P(A_1) = \frac{1}{6} \frac{5}{6} \frac{5}{6} = \frac{25}{216};>

=item *

M<A_2>: "Augenzahl M<6> bei genau einem Wurf"

M<P(A_2) = 3 P(A_1) = \frac{25}{72};>

=item *

M<A_3>: "Augenzahl M<6> nur beim 1. und 3. Wurf"

M<P(A_3) = \frac{1}{6} \frac{5}{6} \frac{1}{6} = \frac{5}{216};>

=item *

M<A_4>: "Augenzahl M<6> bei genau zwei Würfen"

M<P(A_4) = 3 P(A_3) = \frac{5}{72};>

=item *

M<A_5>: "Augenzahl M<6> bei mindestens einem Wurf"

M<P(A_5) = \frac{\left|A_5\right|}{36^3} = \frac{3 \cdot \left(5^2 + 5\right) +
1}{6^3} = \frac{91}{216};>

=item *

M<A_6>: "Augenzahl M<6> bei mindestens zwei Würfen"

M<P(A_6) = \frac{\left|A_6\right|}{36^3} = \frac{3 \cdot \left(1 \cdot 1 \cdot
5\right) + 1}{6^3} = \frac{2}{27};>

=back