=for timestamp
Di Dez 20 18:20:36 CET 2005

=head2 38. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 106, Aufgabe 45

Ein Kartenspiel bestehe aus M<32> Karten. Es wird gut durchgemischt. Jeder der
M<4> Spieler erhält gleich viele Karten. Man berechne die Wahrscheinlichkeiten
folgender Ereignisse:

[Prinzipiell Aufgabe so unlösbar, da erstens nicht klar ist, dass alle Karten
aufgeteilt werden und zweitens über den Kartentyp keine Aussage getroffen
wurde...]

M<
{} \Omega =
{} \left\{ (a,b,c,d) \Biggm| \begin{array}{@{}cl}
{}   & a,b,c,d \subset
{}     \left\{ 7,8,9,10,\text{B},\text{D},\text{K},\text{A} \right\} \times
{}     \left\{ \heartsuit,\lozenge,\spadesuit,\clubsuit \right\} \\ \wedge &
{}   \left|a\right| = \left|b\right| = \left|c\right| = \left|d\right| = 8 \\ \wedge &
{}   \forall x \in \left\{ a,b,c,d \right\}\!\colon\,
{}     \forall y \in \left\{ a,b,c,d \right\} \setminus \left\{x\right\}\!\colon\,
{}       x \cap y = \varnothing;
{} \end{array}
{} \right\}\!;> (Laplace)

=over

=item *

M<A>: "Jeder Spieler bekommt ein Ass"

M<\displaystyle
{} P(A) = \frac{
{}   4! \cdot 1 \cdot \binom{28}{7} \binom{21}{7} \binom{14}{7} \binom{7}{7}
{} }{
{}   \binom{32}{8} \binom{24}{8} \binom{16}{8} \binom{8}{8}
{} } = \frac{512}{4495};>

=item *

M<B>: "Ein bestimmter Spieler bekommt lauter Herz"

M<\displaystyle
{} P(B) = \frac{
{}   \binom{8}{8} \cdot \binom{24}{8} \binom{16}{8} \binom{8}{8}
{} }{
{}   \binom{32}{8} \binom{24}{8} \binom{16}{8} \binom{8}{8}
{} } = \frac{1}{\binom{32}{8}} = \frac{1}{10518300};>

=item *

M<C>: "Ein beliebiger Spieler bekommt lauter Herz"

M<\displaystyle
{} P(C) = 4 P(B) = \frac{1}{2629575};>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 106, Aufgabe 46

Beim Skatspiel bekommen drei Spieler je M<10> Karten, zwei Karten liegen im
Skat. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass

=over

=item a)

die erste verteilte Karte ein Unter ist.

M<P(A) = \frac{4}{32};>

=item b)

die ersten beiden verteilten Karten Unter sind.

M<P(B) = \frac{4}{32} \frac{3}{31};>

=item c)

Eichel- und Grün-Unter im Skat liegen.

M<P(C) = \frac{1}{32} \frac{1}{31} \cdot 2 = \frac{\binom{2}{2}}{\binom{32}{2}};>

=item d)

der erste Spieler alle Unter und Asse erhält.

M<P(D) = \frac{\binom{8}{8} \cdot \binom{24}{2}}{\binom{32}{10}};>

=for comment
M<P(D) = \frac{1}{32} \frac{1}{31} \frac{1}{30} \frac{1}{29} \cdot \frac{1}{28}
\frac{1}{27} \frac{1}{26} \frac{1}{25};> (falsch)

=item e)

ein Spieler alle Unter und alle Asse erhält.

M<P(E) = 3 P(D);>

=back

=head3 Exzerpt von Kapitel 5.5 des Stochastik-Buchs

=over

=item *

Bei der Aufstellung eines Ergebnisraums, der die Laplace-Annahme erfüllen soll,
ist besondere Vorsicht geboten.

=item *

Beispielsweise ist beim Werfen zweier unterscheidbarer "Laplace"-Würfel
M<\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}^2> ein Laplace-Raum, M<\left\{
\left\{_{\text{M}} a,b \right\} \bigm| a,b \in \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}
\right\}> jedoch nicht.

=item *

Daher sollte man immer die Tabelle im Hinterkopf haben, die wir aufgestellt
haben.

=back