=for timestamp
Mo Dez 26 14:06:43 CET 2005

=head2 39. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 104, Aufgabe 41

Ein Würfel wird viermal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
folgender Ereignisse:

M<\Omega = \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}^4;> (Laplace)

=over

=item *

M<A_1>: "Es erscheint genau dreimal Augenzahl M<1>, einmal Augenzahl M<2>"

M<P(A_1) = \frac{\left|A_1\right|}{\left|\Omega\right|} = \frac{4}{6^4} =
\frac{1}{324};>

=item *

M<A_2>: "Es erscheint genau dreimal Augenzahl M<1>"

M<P(A_2) = \frac{\left|A_2\right|}{\left|\Omega\right|} = 5 P(A_1) = \frac{4
\cdot 5}{6^4} = \frac{5}{324};>

=item *

M<A_3>: "Es erscheint genau dreimal die gleiche Augenzahl"

M<P(A_3) = \frac{\left|A_3\right|}{\left|\Omega\right|} = 6 P(A_3) = \frac{4
\cdot 5 \cdot 6}{6^4} = \frac{5}{54};>

=item *

M<A_4>: "Es erscheint beim 1. Wurf Augenzahl M<1>, beim 2. und 3. Wurf
Augenzahl M<2>, beim 4. Wurf Augenzahl M<3>"

M<P(A_4) = \frac{\left|A_4\right|}{\left|\Omega\right|} = \frac{1}{1296};>

=item *

M<A_5>: "Es erscheint genau einmal Augenzahl M<1>, zweimal Augenzahl M<2>,
einmal Augenzahl M<3>"

M<P(A_5) = \frac{\left|A_5\right|}{\left|\Omega\right|} = \frac{6 \cdot
2}{1296} = \frac{1}{108};>

=item *

M<A_6>: "Die Augensumme ist höchstens M<22>"

M<P(A_6) = \frac{\left|A_6\right|}{\left|\Omega\right|} = \frac{6^4 - 1 - 4
\cdot 1}{1296} = \frac{1291}{1296};>

=item *

M<A_7>: "Alle vier Augenzahlen sind verschieden"

M<P(A_7) = \frac{\left|A_7\right|}{\left|\Omega\right|} = \frac{6 \cdot 5 \cdot
4 \cdot 3}{1296} = \frac{5}{18};>

=item *

M<A_8>: "Mindestens zwei Augenzahlen sind gleich"

M<P(A_8) = \dfrac{\left|A_8\right|}{\left|\Omega\right|} =
\frac{6\cdot\left(6\cdot1\cdot5\cdot4\right) +
4\cdot\left(6\cdot1\cdot1\cdot5\right) + 1\cdot\left(6\cdot1\cdot1\cdot1\right)
+ \frac{6}{2}\cdot\left(6\cdot1\cdot5\cdot1\right)}{1296} = \frac{13}{18};>

=item *

M<A_9>: "Genau ein Zweier-Pasch wird geworfen"

M<P(A_9) = \frac{\left|A_9\right|}{\left|\Omega\right|} =
\frac{6\cdot\left(6\cdot1\cdot5\cdot4\right)}{1296} = \frac{5}{9};>

=item *

M<A_{10}>: "Zwei verschiedene Zweier-Pasche werden geworfen"

M<P(A_{10}) = \frac{\left|A_{10}\right|}{\left|\Omega\right|} =
\frac{\frac{6}{2}\cdot\left(6\cdot1\cdot5\cdot1\right)}{1296} = \frac{5}{72};>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 112, Aufgabe 51

Eine Urne enthält elf gleichartige Kugeln, von denen vier schwarz und sieben
weiß sind. Der Urne werden fünf Kugeln

=over

=item a)

auf einmal,

=item b)

nacheinander mit Zurücklegen

=back

entnommen. Berechnen Sie in beiden Fällen die Wahrscheinlichkeit, zwei schwarze
und drei weiße Kugeln zu ziehen.

=over

=item a)

M<\Omega = \left\{ M \bigm| \left|M\right| = 5 \wedge M \subset \left\{
1,2,3,\ldots,10,11 \right\} \right\};> (Laplace)

M<\left|\Omega\right| = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 : 5! =
\binom{11}{5} = 462;>

(Nummern M<1> bis M<4> ← schwarze Kugeln, Nummern M<5> bis M<11> ← weiße
Kugeln)

M<\left|A\right| = \binom{4}{2} \binom{7}{3} = 210;>

⇒ M<P(A) = \dfrac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|} = \dfrac{\binom{4}{2}
\cdot \binom{11 - 4}{5 - 2}}{\binom{11}{5}} = \frac{5}{11};>

=item b)

M<\Omega = \left\{ 1,2,3,\ldots,10,11 \right\}^5;> (Laplace)

M<\left|\Omega\right| = 11^5 = 161\,051;>

(Nummern M<1> bis M<4> ← schwarze Kugeln, Nummern M<5> bis M<11> ← weiße
Kugeln)


=for timestamp
Do Dez 29 14:04:02 CET 2005

M<\left|A\right| = \left(4\cdot4\cdot7\cdot7\cdot7\right) \cdot \binom{5}{2};>

⇒ M<P(A) = \dfrac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|} = \binom{5}{2} \cdot
\left(\frac{4}{11}\right)^2 \cdot \left(1 - \frac{4}{11}\right)^3 =
\frac{54880}{161051};>

=back

=head3 [Buch Seite 112, Aufgabe 53

In einem Lotterietopf befinden sich M<100> Lose, von denen nur fünf gewinnen.
Jemand kauft zehn Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit

=over

=item a)

kein Gewinnlos,

=item b)

genau ein Gewinnlos,

=item c)

genau zwei Gewinnlose oder

=item d)

höchstens zwei Gewinnlose

=back

zu ziehen?

=over

=item a)

M<P(A) = \dfrac{\binom{5}{0} \binom{100 - 5}{5 - 0}}{\binom{100}{5}} \approx
0{,}77;>

=item b)

M<P(B) = \dfrac{\binom{5}{1} \binom{100 - 5}{5 - 1}}{\binom{100}{5}} \approx
0{,}21;>

=item c)

M<P(C) = \dfrac{\binom{5}{2} \binom{100 - 5}{5 - 2}}{\binom{100}{5}} \approx
0{,}018;>

=item d)

M<A \cap B = A \cap C = B \cap C = \varnothing;>

⇒ M<P(D) = P(A) + P(B) + P(C) \approx 1{,}0;>

(Lösungen falsch; es werden zehn Kugeln gezogen!)]

=back

=head3 [Buch Seite 112, Aufgabe 54

Eine Lotterie besteht aus M<1000> Losen und ist mit M<50> Treffern
ausgestattet. Jemand kauft fünf Lose. Welche Wahrscheinlichkeit hat er,
mindestens einen Treffer zu machen?

M<P(A) =
{} \dfrac{
{}   \binom{50}{1}\binom{950}{5 - 1} +
{}   \binom{50}{2}\binom{950}{5 - 2} +
{}   \binom{50}{3}\binom{950}{5 - 3} +
{}   \binom{50}{5}\binom{950}{5 - 5} +
{}   \binom{50}{5}\binom{950}{5 - 5}
{} }{\binom{1000}{5}} =
{} \dfrac{
{}   \sum\limits_{k = 1}^5 \binom{50}{k}\binom{950}{5 - k}
{} }{\binom{1000}{5}};>

⇒ M<P(A) = \frac{186\,974\,260\,001}{825\,029\,125\,020} \approx 0{,}23;>]

=head3 Stochastik-Buch Seite 112, Aufgabe 56

Ein Laplace-Würfel wird fünfmal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit,
genau zweimal eine Sechs zu werfen.

M<P(A) = \dfrac{\left(1\cdot1\cdot5\cdot5\cdot5\right) \cdot \binom{5}{2}}{6^5}
= \binom{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(1 -
\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{625}{3888};>

=head3 Stochastik-Buch Seite 112, Aufgabe 57

In einer Urne liegen zwei schwarze und drei weiße gleichartige Kugeln. Vier
Kugeln werden mit Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden
höchstens zwei schwarze Kugeln gezogen?

M<P(A) = \dfrac{\binom{4}{0}\left(3\cdot3\cdot3\cdot3\right) +
\binom{4}{1}\left(2\cdot3\cdot3\cdot3\right) +
\binom{4}{2}\left(2\cdot2\cdot3\cdot3\right)}{5^4} = \frac{513}{625};>