=for timestamp
Mi Jan 18 16:37:43 CET 2006

=head2 43. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 123, Aufgabe 10

Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten, das vier Könige enthält, wird in M<n>
aufeinander folgenden Zügen ohne Zurücklegen zufällig je eine Karte gezogen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

=over

=item 1.

"Beim ersten Zug wird ein König gezogen"

M<\Omega = \left\{ 1,2,3,\ldots,32 \right\}\!;> (Laplace)

M<1>,M<2>,M<3>,M<4> sind Könige.

M<P = P\!\left(\left\{1\right\}\right) + P\!\left(\left\{2\right\}\right) +
P\!\left(\left\{3\right\}\right) + P\!\left(\left\{4\right\}\right) =
\frac{4}{32} = 12{,}5 \,\%;>

=item 2.

=over

=item a)

"In zwei aufeinander folgenden Zügen wird je ein König gezogen"

M<P = \frac{4}{32} \frac{3}{31} \approx 1{,}2 \,\%;>

=item b)

"In zwei aufeinander folgenden Zügen wird beim zweiten Zug ein König gezogen"

M<P = \frac{28}{32} \frac{4}{31} + \frac{4}{32} \frac{3}{31} = 12{,}5 \,\%;>

=back

=item 3.

=over

=item a)

"In drei aufeinander folgenden Zügen wird je ein König gezogen"

M<P = \frac{4}{32} \frac{3}{31} \frac{2}{30} \approx 0{,}1 \,\%;>

=item b)

"In drei aufeinander folgenden Zügen wird beim dritten Zug ein König gezogen"

M<P = \underbrace{\frac{28}{32} \frac{27}{31} \frac{4}{30}}_{0,0,1} +
\underbrace{\frac{28}{32} \frac{4}{31} \frac{3}{30}}_{0,1,1} +
\underbrace{\frac{4}{32} \frac{28}{31} \frac{3}{30}}_{1,0,1} +
\underbrace{\frac{4}{32} \frac{3}{31} \frac{2}{30}}_{1,1,1} = 12{,}5 \,\%;>

=back

=item 4.

=over

=item a)

"In vier aufeinander folgenden Zügen wird je ein König gezogen"

M<P = \frac{4}{32} \frac{3}{31} \frac{2}{30} \frac{1}{29} \approx 2{,}7 \cdot
10^{-3};>

=item b)

"In vier aufeinander folgenden Zügen wird beim vierten Zug ein König gezogen"

=begin comment

Perl++

#!/usr/bin/perl

use warnings;
use strict;

use constant CARDS => 32;
use constant KINGS =>  4;
use constant TURNS =>  4;

my @P = map {
  my @get_kings = split //, sprintf "%0@{[ TURNS ]}b", $_;
  unless($get_kings[-1]) {
    ();
  } else {
    my $calc = join "*", do {
      my ($cards, $kings) = (CARDS, KINGS);
      map { $_
        ? sprintf "%d/%d", $kings--, $cards--
        : sprintf "%d/%d", ($cards - $kings), $cards--;
      } @get_kings;
    };

    my $descr = join ",", @get_kings;
    my $tex = sprintf "\\underbrace{\%s}_{$descr}", join " ", do {
      my ($cards, $kings) = (CARDS, KINGS);
      map { $_
        ? sprintf '\frac{%d}{%d}', $kings--, $cards--
        : sprintf '\frac{%d}{%d}', ($cards - $kings), $cards--;
      } @get_kings;
    };

    [ $calc, $tex ];
  }
} 1..2**TURNS;

my $calc = join "+",   map { $_->[0] } @P;
my $tex  = join " + ", map { $_->[1] } @P;
printf "Calc: %s = %.4f\n", $calc, eval $calc;
printf "Tex:  %s\n",        $tex;

=end comment

M<\renewcommand{\arraystretch}{2.2}\begin{array}{@{}rcl}
{} P &=& \underbrace{\frac{28}{32} \frac{27}{31} \frac{26}{30} \frac{4}{29}}_{0,0,0,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{27}{31} \frac{4}{30} \frac{3}{29}}_{0,0,1,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{4}{31} \frac{27}{30} \frac{3}{29}}_{0,1,0,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{4}{31} \frac{3}{30} \frac{2}{29}}_{0,1,1,1} + \\
{}   &+& \underbrace{\frac{4}{32} \frac{28}{31} \frac{27}{30} \frac{3}{29}}_{1,0,0,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{28}{31} \frac{3}{30} \frac{2}{29}}_{1,0,1,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{3}{31} \frac{28}{30} \frac{2}{29}}_{1,1,0,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{3}{31} \frac{2}{30} \frac{1}{29}}_{1,1,1,1} = \\
{}   &=& 12{,}5 \,\%;
\end{array}>

=back

=item 5.

["In fünf aufeinander folgenden Zügen wird beim fünften Zug ein König gezogen"

M<\renewcommand{\arraystretch}{2.2}\begin{array}{@{}rcl}
{} P &=& \underbrace{\frac{28}{32} \frac{27}{31} \frac{26}{30} \frac{25}{29} \frac{4}{28}}_{0,0,0,0,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{27}{31} \frac{26}{30} \frac{4}{29} \frac{3}{28}}_{0,0,0,1,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{27}{31} \frac{4}{30} \frac{26}{29} \frac{3}{28}}_{0,0,1,0,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{27}{31} \frac{4}{30} \frac{3}{29} \frac{2}{28}}_{0,0,1,1,1} + \\
{}   &+& \underbrace{\frac{28}{32} \frac{4}{31} \frac{27}{30} \frac{26}{29} \frac{3}{28}}_{0,1,0,0,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{4}{31} \frac{27}{30} \frac{3}{29} \frac{2}{28}}_{0,1,0,1,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{4}{31} \frac{3}{30} \frac{27}{29} \frac{2}{28}}_{0,1,1,0,1} + \underbrace{\frac{28}{32} \frac{4}{31} \frac{3}{30} \frac{2}{29} \frac{1}{28}}_{0,1,1,1,1} + \\
{}   &+& \underbrace{\frac{4}{32} \frac{28}{31} \frac{27}{30} \frac{26}{29} \frac{3}{28}}_{1,0,0,0,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{28}{31} \frac{27}{30} \frac{3}{29} \frac{2}{28}}_{1,0,0,1,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{28}{31} \frac{3}{30} \frac{27}{29} \frac{2}{28}}_{1,0,1,0,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{28}{31} \frac{3}{30} \frac{2}{29} \frac{1}{28}}_{1,0,1,1,1} + \\
{}   &+& \underbrace{\frac{4}{32} \frac{3}{31} \frac{28}{30} \frac{27}{29} \frac{2}{28}}_{1,1,0,0,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{3}{31} \frac{28}{30} \frac{2}{29} \frac{1}{28}}_{1,1,0,1,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{3}{31} \frac{2}{30} \frac{28}{29} \frac{1}{28}}_{1,1,1,0,1} + \underbrace{\frac{4}{32} \frac{3}{31} \frac{2}{30} \frac{1}{29} \frac{0}{28}}_{1,1,1,1,\text{"`}1\text{"'}} = \\
{}   &=& 12{,}5 \,\%;\text{]}
\end{array}>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 123, Aufgabe 11

Werkstücke einer Produktion werden kontrolliert auf richtigen Durchmesser
(M<A>) und richtige Dicke (M<B>). Von M<1000> Werkstücken waren bei M<10>
sowohl Durchmesser als aus Dicke falsch, bei M<970> war der Durchmesser
richtig, bei M<950> war die Dicke richtig.

=over

=item a)

Wie groß ist die Anzahl der Werkstücke mit richtigem Durchmesser und richtiger
Dicke?

=table                    | I<M<A>> | I<M<\overline{A}>> | 
=row   I<M<B>>            | M<930>  | M<20>              | M<950>
=row   I<M<\overline{B}>> | M<40>   | M<10>              | M<50>
=row                      | M<970>  | M<30>              | M<1000>

M<930>

=item b)

Ein Werkstück wird zufällig herausgegriffen. Berechnen Sie

=over

=item *

M<P(A) = \frac{970}{1000} = 97 \,\%;>

=item *

M<P(\overline{A} \cap B) = \frac{20}{1000} = 2 \,\%;>

=item *

M<P_{\overline{B}}(A) = \frac{40}{50} = 80 \,\%;>

=item *

M<P_{A \cup B}(A \cap B) = \frac{P\!\left(\left(A \cup B\right) \cap \left(A
\cap B\right)\right)}{P\!\left(A \cup B\right)} = \frac{P\!\left(A \cap
B\right)}{P(A) + P(B) - P\!\left(A \cap B\right)} = \frac{930}{970 + 950 - 930}
= \frac{930}{1000 - 10} \approx 93{,}9 \,\%;>

=back

=back