=for timestamp
Di Jan 24 17:55:55 CET 2006

=head2 46. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 121, Aufgabe 4

Bei einer Röntgenreihenuntersuchung bedeute

=over

=item *

M<H_0>: "Die untersuchte Person ist nicht an Tbc erkrankt"

=item *

M<H_1>: "Die untersuchte Person ist an Tbc erkrankt"

=item *

M<T_0>: "Das Röntgenbild ergibt keinen Tbc-Verdacht"

=item *

M<T_1>: "Das Röntgenbild ergibt einen Tbc-Verdacht"

=back

Interpretieren Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:

=over

=item *

M<P_{H_1}(T_0)>: Kein Verdacht trotz Erkrankung

=item *

M<P_{H_0}(T_1)>: Verdacht trotz Gesundheit

=item *

M<P_{T_0}(H_1)>: Erkrankung trotz Fehlen eines Verdachts

=item *

M<P_{T_1}(H_0)>: Gesundheit trotz Verdacht

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 122, Aufgabe 6

Folgende Ereignisse seien definiert:

=over

=item *

M<H>: "Eine Person ist HIV-infiziert"

=item *

M<\overline{H}>: "Eine Person ist nicht HIV-infiziert"

=item *

M<T>: "Der HIV-Test liefert ein positives Ergebnis"

=item *

M<\overline{T}>: "Der HIV-Test liefert ein negatives Ergebnis"

=back

Die Güte des HIV-Tests lässt sich mit den Wahrscheinlichkeiten in folgender
Vierfeldertafel beschreiben:

=table                    | I<M<H>>                  | I<M<\overline{H}>>   | 
=row   I<M<T>>            | M<0{,}999 \cdot 10^{-3}> | M<5   \cdot 10^{-3}> | M<5{,}999 \cdot 10^{-3}>
=row   I<M<\overline{T}>> | M<0{,}001 \cdot 10^{-3}> | M<994 \cdot 10^{-3}> | M<994{,}001 \cdot 10^{-3}>
=row                      | M<1{,}000 \cdot 10^{-3}> | M<999 \cdot 10^{-3}> |

Berechnen Sie daraus

=over

=item a)

die so genannte Sensitivität M<P_H(T)> und Spezifität
M<P_{\overline{H}}(\overline{T})> des Tests.

M<P_H(T) = \frac{P(H \cap T)}{P(H)} = \frac{0{,}999 \cdot 10^{-3}}{1{,}000
\cdot 10^{-3}} = 99{,}9 \,\%;>

M<P_{\overline{H}}(\overline{T}) = \frac{P(\overline{H} \cap
\overline{T})}{P(\overline{H})} = \frac{994 \cdot 10^{-3}}{999 \cdot 10^{-3}}
\approx 99{,}5 \,\%;>

=item b)

die so genannten Aussagewerte M<P_T(H)> und M<P_{\overline{T}}(\overline{H})> des Tests.

M<P_T(H) = \frac{P(H \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}999 \cdot 10^{-3}}{5{,}999
\cdot 10^{-3}} \approx 16{,}7 \,\%;>

M<P_{\overline{T}}(\overline{H}) = \frac{P(\overline{H} \cap
\overline{T})}{P(\overline{T})} = \frac{994 \cdot 10^{-3}}{994{,}001 \cdot
10^{-3}} \approx 100 \,\%;>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 122, Aufgabe 7

=over

=item a)

Berechnen Sie bei einem normalen Würfel M<P_A(B)> für

=over

=item M<\alpha>)

M<A = \left\{ 4 \right\}\!; \quad B = \left\{ 1 \right\}\!;>

⇒ M<P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 0;>

=item M<\beta>)

M<A = \left\{ 1, 5 \right\}\!; \quad B = \left\{ 1, 2, 3, 4, 6 \right\}\!;>

⇒ M<P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{2} = 50 \,\%;>

=item M<\gamma>)

M<A = \left\{ 2, 4, 5 \right\}\!; \quad B = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}\!;>

⇒ M<P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{2}{3} \approx 66{,}7 \,\%;>

=item M<\delta>)

M<A = \left\{ 2, 3, 4, 5 \right\}\!; \quad B = \left\{ 2, 3, 4 \right\}\!;>

⇒ M<P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{3}{4} = 75 \,\%;>

=item M<\varepsilon>)

M<A = \left\{ 1, 3, 6 \right\}\!; \quad B = \left\{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \right\}\!;>

⇒ M<P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{3}{3} = 1;>

=back

=item b)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf mit zwei Würfeln das
Maximum der Augenzahlen gleich M<5> ist unter der Bedingung, dass das Minimum
der Augenzahlen höchstens M<3> ist.

M<A = \left\{ (a,b) \bigm| \left(a E<lt> b \wedge a \leq 3\right) \vee \left(b
E<lt> a \wedge b \leq 3\right) \vee a = b = 3 \right\}\!; \\
\Rightarrow \left|A\right| = 27;>

M<B = \left\{ (a,b) \bigm| \left(a E<gt> b \wedge a = 5\right) \vee \left(b
E<gt> a \wedge b = 5\right) \vee a = b = 5 \right\}\!; \\
\Rightarrow \left|B\right| = 1 \cdot 4 + 4 \cdot 1 + 1 = 9;>

⇒ M<P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{6}{27} \approx 22{,}2 \,\%;>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 122, Aufgabe 9

Aus einer Urne, die eine rote, fünf weiße und zwei schwarze Kugeln enthält,
werden nacheinander drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Es gelte die
Laplace-Annahme. Man berechne unter Verwendung eines Ergebnisbaums die
Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

=over

=item *

M<A>: "Die beim ersten Zug entnommene Kugel ist schwarz"

M<P(A) = \underbrace{\frac{2}{8} \frac{6}{7} \frac{5}{6}}_{1,0,0} +
\underbrace{\frac{2}{8} \frac{6}{7} \frac{1}{6}}_{1,0,1} +
\underbrace{\frac{2}{8} \frac{1}{7} \frac{6}{6}}_{1,1,0} = \frac{1}{8 \cdot 7
\cdot 6} \cdot \left(2 \cdot 6\right) \cdot \left(7\right) = 25 \,\%;>

=item *

M<B>: "Die beim zweiten Zug entnommene Kugel ist schwarz"

M<P(B) = \underbrace{\frac{6}{8} \frac{2}{7} \frac{5}{6}}_{0,1,0} +
\underbrace{\frac{6}{8} \frac{2}{7} \frac{1}{6}}_{0,1,1} +
\underbrace{\frac{2}{8} \frac{1}{7} \frac{6}{6}}_{1,1,0} = \frac{1}{8 \cdot 7 
\cdot 6} \cdot \left(2 \cdot 6\right) \cdot \left(7\right) = 25 \,\%;>

=item *

M<C>: "Die beim dritten Zug entnommene Kugel ist schwarz"

M<P(C) = \underbrace{\frac{6}{8} \frac{5}{7} \frac{2}{6}}_{0,0,1} +
\underbrace{\frac{6}{8} \frac{2}{7} \frac{1}{6}}_{0,1,1} +
\underbrace{\frac{2}{8} \frac{6}{7} \frac{1}{6}}_{1,0,1} = \frac{1}{8 \cdot 7 
\cdot 6} \cdot \left(2 \cdot 6\right) \cdot \left(7\right) = 25 \,\%;>

=back