=for timestamp
Do Jan 26 18:15:11 CET 2006

=head2 47. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 130, Aufgabe 16

Zur Früherkennung einer Stoffwechselkrankheit bei Säuglingen wird eine neue
Untersuchungsmethode entwickelt. Mit ihr wird die Krankheit in M<80 \,\%> der
Fälle zuverlässig erkannt, während der Anteil der irrtümlich als krank
eingestuften Säuglinge bei M<2 \,\%> liegt. Durchschnittlich tritt die
Krankheit bei M<1{,}0 \cdot 10^5> Geburten hundertmal auf.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein untersuchter Säugling tatsächlich
erkrankt ist, obwohl die Untersuchung keinen zu­ver­läs­si­gen Hinweis darauf
ergeben hat?

M<P_{H_1}(T_1) = 80 \,\%; \quad P_{H_0}(T_1) = 2 \,\%;>

M<P(H_1) = \frac{100}{1{,}0 \cdot 10^5};>

M<P_{T_0}(H_1) = \frac{P(H_1) P_{H_1}(T_0)}{P(H_1) P_{H_1}(T_0) + P(H_0)
P_{H_0}(T_0)} = \frac{P(H_1) \left(1 - P_{H_1}(T_1)\right)}{P(H_1) \left(1 -
P_{H_1}(T_1)\right) + \left(1 - P(H_1)\right) \left(1 - P_{H_0}(T_1)\right)}
\approx 2{,}0 \cdot 10^{-4};>

=head3 Stochastik-Buch Seite 131, Aufgabe 20

Bei einer Übertragung der Zeichen "Punkt" und "Strich" in einem Fernmeldesystem
werden durch Störungen im Mittel M<5 \,\%> der gesendeten Punkte als Striche
und M<3 \,\%> der gesendeten Striche als Punkte empfangen. Das Verhältnis von
gesendeten Punkten zu gesendeten Strichen ist M<\frac{3}{5}>. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass das richtige Zeichen empfangen wurde, falls a) Punkt,
b) Strich empfangen wurde?

M<P_{H_{\circ}}(T_{-}) = 5 \,\%;>

M<P_{H_{-}}(T_{\circ}) = 3 \,\%;>

M<\frac{P(H_{\circ})}{P(H_{-})} = \frac{3}{5};> ⇒ M<P(H_{\circ}) =
\frac{3}{8};>

=over

=item a)

=for comment
Falsch (?): M<P_{H_{\circ}}(T_{\circ}) = 1 - P_{H_{\circ}}(T_{-}) = 95 \,\%;>

M<P_{T_{\circ}}(H_{\circ}) = \frac{P(H_{\circ})
P_{H_{\circ}}(T_{\circ})}{P(H_{\circ}) P_{H_{\circ}}(T_{\circ}) + P(H_{-})
P_{H_{-}}(T_{\circ})} = 95 \,\%;>

=item b)

=for comment
Falsch (?): M<P_{H_{-}}(T_{-}) = 1 - P_{H_{-}}(T_{-}) = 97 \,\%;>

M<P_{T_{-}}(H_{-}) = \frac{P(H_{-}) P_{H_{-}}(T_{-})}{P(H_{-}) P_{H_{-}}(T_{-})
+ P(H_{\circ}) P_{H_{\circ}}(T_{-})} = 97 \,\%;>

=back