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Sa Jan 28 17:00:10 CET 2006

=head2 48. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 130, Aufgabe 15

=over

=item a)

Um die Güte eines Tests zur Untersuchung von Neurotikern zu prüfen, werden
M<100> Versuchspersonen, von denen M<10> neurotisch sind, getestet. Von den
gesunden Versuchspersonen erbrachte der Test bei M<20 \,\%> den Hinweis auf
Neurotizismus, von den Neurotikern bei M<90 \,\%>.

Zeigen Sie: Die Wahrscheinlichkeit beträgt M<33{,}3 \,\%>, dass eine Person
tatsächlich neurotisch ist, wenn der Test auf die Krankheit hingewiesen hat.

M<P(N) = 10 \,\%;>

M<P_N(T) = 90 \,\%; \quad P_{\overline{N}}(T) = 20 \,\%;>

⇒ M<P_T(N) = \frac{P(N) P_N(T)}{P(N) P_N(T) + P(\overline{N})
P_{\overline{N}}(T)} \approx 33{,}3 \,\%;>

=item b)

Nach Überarbeitung des Tests wird unter den genannten Bedingungen (M<100>
Versuchspersonen, M<10> davon neurotisch) mit anderen Versuchspersonen ein
neuer Versuch unternommen. Man erhält nun bei den Gesunden nur noch in M<10
\,\%> und bei den Kranken in M<95 \,\%> der Fälle Hinweis auf Neorotizismus.

Zeigen Sie: Die Wirksamkeit des verbesserten Tests ist gegenüber der
ursprünglichen Fassung von M<33{,}3 \,\%> auf M<51{,}4 \,\%> gestiegen.

M<P(N) = 10 \,\%;>

M<P_N(T) = 95 \,\%; \quad P_{\overline{N}}(T) = 10 \,\%;>

⇒ M<P_T(N) = \frac{P(N) P_N(T)}{P(N) P_N(T) + P(\overline{N})
P_{\overline{N}}(T)} \approx 51{,}4 \,\%;>

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=head3 Stochastik-Buch Seite 131, Aufgabe 19

An einem Ort sei an einem Fünftel aller Tage schlechtes Wetter; an den übrigen
Tagen sei es gut. Es habe sich herausgestellt, dass am Vorabend eines Tages mit
gutem Wetter die Wettervorhersage mit M<70 \,\%> Wahrscheinlichkeit gut, mit
M<20 \,\%> Wahrscheinlichkeit wechselhaft und im Übrigen schlecht lautet. Ein
Schlechtwettertag sei mit M<60 \,\%> zutreffend angekündigt, mit M<30 \,\%> als
wechselhaft und sonst als gut vorausgesagt.

=over

=item a)

Verwenden Sie für das Wetter die Bezeichnungen M<W_{\text{g}}> und
M<W_{\text{s}}>, für die Vorhersage M<V_{\text{g}}>, M<V_{\text{s}}> und
M<V_{\text{w}}>.

M<P(W_{\text{s}}) = 20 \,\%; \quad P(W_{\text{g}}) = 80 \,\%;>

M<P_{W_{\text{g}}}(V_{\text{g}}) = 70 \,\%; \quad
P_{W_{\text{g}}}(V_{\text{w}}) = 20 \,\%; \quad P_{W_{\text{g}}}(V_{\text{s}})
= 10 \,\%;>

M<P_{V_{\text{s}}}(W_{\text{g}}) = 60 \,\%; \quad
P_{V_{\text{w}}}(W_{\text{s}}) = 30 \,\%; \quad P_{V_{\text{g}}}(W_{\text{s}})
= 10 \,\%;>

=item b)

Heute abend wird gutes (schlechtes) Wetter angesagt. Wie zuverlässig ist diese
Vorhersage?

M<P_{V_{\text{g}}}(W_{\text{g}}) = 1 - P_{V_{\text{g}}}(W_{\text{s}}) = 90
\,\%;>

M<P_{V_{\text{s}}}(W_{\text{s}}) = 60 \,\%;>

(XXX TEILWEISE (?) FALSCH)

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