=for timestamp
Mo Sep 26 17:57:23 CEST 2005

=head2 5. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 15, Aufgabe 10

M<\int \sin^2 x \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\left(x - \sin x\cos x\right) + C_1;>

M<\int \sin^2 x \,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\left(\sin x - \cos
x\right)^2 + C_2;>

Welcher Zusammenhang besteht zwischen M<C_1> und M<C_2>?

M<\frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\left(\sin x - \cos
x\right)^2 + C_2 - \frac{1}{2}\left(x - \sin x\cos x\right) - C_1 =
\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}\sin x\cos x + C_2 - \frac{1}{2}x +
\frac{1}{2}\sin x\cos x - C_1 = \frac{1}{4} - C_1 + C_2;>

=head3 Analysis-Buch Seite 15, Aufgabe 11

Gib alle Stammfunktionen von M<\mathrm{f}> an mit

=over

=item a)

M<< \mathrm{f}(x) = \begin{cases}
{} 0 & \text{f"ur } 0 \leq x E<lt> 1; \\
{} 1 & \text{f"ur } 1 E<lt> x;
\end{cases} >>

M<< \int \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{F}_c(x) = \begin{cases}
{} 1 + C_1 & \text{f"ur } 0 \leq x E<lt> 1; \\
{} x + C_2 & \text{f"ur } 1 E<lt> x;
\end{cases} >>

(Nachweis der Differenzierbarkeit von M<\mathrm{F}_c> an der Stelle M<1>
unnötig, da M<1 \notin D_{\mathrm{f}}>)

=item b)

M<\mathrm{f}(x) = x + \operatorname{sgn} x; \quad D_{\mathrm{f}} = \mathds{R}
\setminus \left\{ 0 \right\};>

M<< \int \mathrm{f}(x) \,\mathrm{d}x = \begin{cases}
{} \frac{1}{2}x^2 - x + C_1 & \text{f"ur } x E<lt> 0; \\
{} \frac{1}{2}x^2 + x + C_2 & \text{f"ur } x E<gt> 0;
\end{cases} >>

=back

=head3 Analysis-Buch Seite 15, Aufgabe 12

Zeige, dass M<\mathrm{F}> und M<\mathrm{G}> Stammfunktionen der gleichen
Funktion sind:

M<\mathrm{F}(x) = \sqrt{x + 1};> M<\\>
M<\mathrm{G}(x) = \frac{x}{1 + \sqrt{x + 1}};>

M<D_{\mathrm{F}} = D_{\mathrm{G}} = \left]-1, \infty\right[;>

Wie heißt die Konstante, durch die sich M<\mathrm{F}> und M<\mathrm{G}>
unterscheiden?

M<\mathrm{F}'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}};>

M<\mathrm{G}'(x) = \dfrac{\left(1 + \sqrt{x + 1}\right) - x\frac{1}{2\sqrt{x +
1}}}{1 + 2\sqrt{x + 1} + x + 1} = \dfrac{2\sqrt{x + 1} + x + 2}{2\sqrt{x +
1}\left(2\sqrt{x + 1} + x + 2\right)} = \dfrac{1}{2\sqrt{x + 1}};>

⇒ M<\mathrm{F}'(x) = \mathrm{G}'(x);>

M<\mathrm{F}(x) - \mathrm{G}(x) = \sqrt{x + 1} - \dfrac{x}{1 + \sqrt{x + 1}} =
\dfrac{x + \sqrt{x + 1} - x + 1}{1 + \sqrt{x + 1}} = 1;>