=for timestamp
Do Feb  2 18:12:14 CET 2006

=head2 51. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 146, Aufgabe 2

Es sei M<0 E<lt> P(A) E<lt> 1>.

=over

=item a)

Begründen Sie anschaulich, warum M<A> abhängig von sich selbst ist.

Ist M<A> eingetreten, so wissen wir, dass M<A> eingetreten ist; also ist
M<P_A(A) = 1>.

=item b)

Weisen Sie dies mathematisch nach.

Beweis durch Widerspruch.

Annahmen:

=over

=item *

M<0 E<lt> P(A) E<lt> 1;>

=item *

M<P(A \cap A) = P(A) P(A);>

=back

M<P(A \cap A) = P(A) = P(A) P(A);>

Division durch M<P(A)> mit M<P(A) \neq 0> bringt:

M<1 = P(A);>

Dieser Fall wurde von der Angabe ausgeschlossen. Also ist M<A> abhängig von
sich selbst.

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 146, Aufgabe 3

Zeigen Sie rechnerisch:

=over

=item a)

Sei M<A = \varnothing> oder M<A = \Omega>. Dann sind für alle M<B \subseteq
\Omega> die Ereignisse M<A> und M<B> unabhängig. Suchen Sie eine anschauliche
Begründung.

=over

=item *

M<A = \varnothing;>

M<\forall B \subseteq \Omega{:}\, 0 = P(A) = P(A \cap B) = P(A) P(B) = 0 P(B) =
0;>

M<A> ist das unmögliche Ereignis. Die Frage nach der bedingten
Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung M<\varnothing> ist nicht sinnvoll, da
die Bedingung niemals eintreten kann.

=item *

M<A = \Omega;>

M<\forall B \subseteq \Omega{:}\, P(B) = P(A \cap B) = P(A) P(B) = 1 P(B) =
P(B);>

M<A> ist das sichere Ereignis. Sein Eintreten gibt keine Information über das
Eintreten anderer Ereignisse, da es immer eintritt.

=back

=item b)

Sind die Ereignisse M<A> und M<B> unabhängig und gilt M<A \subseteq B>, so
folgt M<P(A) = 0> oder M<P(B) = 1>.

M<A \subseteq B; \Leftrightarrow A \cap B = A; \Leftrightarrow P(A \cap B) =
P(A) = P(A) P(B);>

Damit als einzige Lösungen M<P(A) = 0> (dann M<0 = 0>) oder M<P(B) = 1> (dann
M<P(A) = P(A)>). Andere Lösungen gibt es nicht, wie die durch M<P(A)>
dividierte Gleichung zeigt:

M<1 = P(B);>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 146, Aufgabe 4

Beim Roulette sei M<A>: "1. Dutzend" (M<\left\{ 1,2,3,\ldots,12 \right\}>) und
M<B>: "1. Querreihe" (M<\left\{ 1,2,3 \right\}>).

=over

=item a)

Warum sind M<A> und M<B> notwendigerweise abhängig?

Weil das Eintreten von M<A> Informationen über das Eintreten von M<B>
preisgibt (M<B \subset A>).

=item b)

Zeigen Sie die Abhängigkeit mit Hilfe der Definitionsgleichung.

M<\frac{3}{\left|\Omega\right|} = P(A \cap B) \neq P(A) P(B) =
\frac{12}{\left|\Omega\right|} \frac{3}{\left|\Omega\right|};>

=item c)

Zeigen Sie allgemein, dass gilt: M<B \subset A;> ⇒ M<A> und M<B> abhängig für
M<P(A) \neq 1> und M<P(B) \neq 0>.

M<\forall P(A) \neq 1, P(B) \neq 0{:}\,  B \subset A; \Rightarrow P(B) \neq P(A
\cap B) = P(A) P(B);>

(Siehe Aufgabe 3.)

=back