=for timestamp
Do Feb  9 17:47:15 CET 2006

=head2 53. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 149, Aufgabe 21

Wir betrachten das zweimalige Werfen eines fairen Würfels und die drei
Ereignisse M<A_i> für M<i = 1,2,3>. M<A_1> bzw. M<A_2> sei das Ereignis, dass
beim 1. bzw. 2. Wurf eine ungerade Augenzahl fällt; M<A_3> sei das Ereignis,
dass die Summe der geworfenen Augenzahlen ungerade ist.

=over

=item a)

Zeigen Sie, dass je zwei dieser drei Ereignisse unabhängig sind.

M<\Omega = \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}^2;>

M<A_1 = \left\{ 1,3,5 \right\} \times \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}\!;> ⇒
M<\left|A_1\right| = 3 \cdot 6 = 18;>

M<A_2 = \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\} \times \left\{ 1,3,5 \right\}\!;> ⇒
M<\left|A_2\right| = 6 \cdot 3 = 18;>

M<A_3 = \left\{ (a,b) \middle| \left(a + b\right) \bmod 2 = 1 \right\}\!;> ⇒
M<\left|A_3\right| = 6 \cdot 3 = 18;>

M<\frac{1}{4} = P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) P(A_2) = \frac{1}{4};>

M<\frac{1}{4} = P(A_1 \cap A_3) = P(A_1) P(A_3) = \frac{1}{4};>

M<\frac{1}{4} = P(A_2 \cap A_3) = P(A_1) P(A_3) = \frac{1}{4};>

=item b)

Zeigen Sie, dass die M<A_i> abhängig sind.

M<0 = P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) \neq P(A_1) P(A_2) P(A_3) = \frac{1}{8};>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 149, Aufgabe 22

Für drei Ereignisse M<A>, M<B>, M<C> mit positiven Wahrscheinlichkeiten gelte

M<P(A) = P_B(A) = P_C(A) = P_{B \cap C}(A);>

M<P(B) = P_A(B) = P_C(B) = P_{A \cap C}(B);>

M<P(C) = P_A(C) = P_B(C) = P_{A \cap B}(C);>

Zeigen Sie, dass diese drei Bedingungen mit den Multiplikationsregeln für drei
unabhängige Ereignisse äquivalent sind.

M<P(A) = P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)};> ⇔ M<P(A \cap B) = P(A) P(B);>

M<P(A) = P_C(A) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)};> ⇔ M<P(A \cap C) = P(A) P(C);>

M<P(B) = P_C(B) = \frac{P(B \cap C)}{P(C)};> ⇔ M<P(B \cap C) = P(B) P(C);>

M<P(A) = P_{B \cap C}(A) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(B \cap C)};> ⇔ M<\\>
M<P(A \cap B \cap C) = P(A) P(B \cap C) = P(A) P(B) P(C);>