=for timestamp
Sa Feb 11 18:33:37 CET 2006

=head2 54. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 149, Aufgabe 27

In einer Massenproduktion werden Schrauben einer bestimmten Sorte hergestellt.
Aus dem Sortiment wird eine Schraube zufällig herausgegriffen. Erfahrungsgemäß
ist die Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Schraube M<0{,}1> und für eine
fehlerhafte Schraubenmutter M<0{,}05>. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass Schraubenkopf und Schraubenmutter zusammenpassen, wenn sie unabhängig
hergestellt werden?

M<\left(1 - 0{,}1\right) \left(1 - 0{,}05\right) = 85{,}6 \,\%;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 149, Aufgabe 28

Beim Zusammenbau eines Elektrogeräts werden fünf Widerstände und vier
Kondensatoren verwendet. Die Ausschusswahrscheinlichkeit für die Widerstände
sei M<4 \,\%>, für die Kondensatoren M<5 \,\%>. Man berechne bei geeigneten
Unabhängigkeitsmaßnahmen die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses M<A>:
"Mindestens ein Bauteil ist fehlerhaft".

M<P(A) = 1 - \left(1 - 4 \,\%\right)^5 \left(1 - 5 \,\%\right)^4 \approx 33{,}6
\,\%;> (XXX nicht 100 % sicher)

=head3 Stochastik-Buch Seite 150, Aufgabe 29

Drei Glühlampen verschiedenen Fabrikats brennen er­fah­rungs­ge­mäß mit den
Wahrscheinlichkeiten M<w_1 = \frac{3}{4}> bzw. M<w_2 = \frac{2}{3}> bzw. M<w_3
= \frac{1}{2}> länger als 1000 Stunden. Man berechne die Wahrscheinlichkeit,
dass

=over

=item a)

genau zwei,

=item b)

mindestens zwei,

=item c)

höchstens zwei,

=item d)

keine

=back

mehr als 1000 Stunden brennen.

Dabei sind geeignete Unabhängigkeitsannahmen zu machen.

Welchen Ergebnisraum wird man zugrunde legen?

=over

=item a)

M<P(A_{\text{a}}) = P(1 \cap 2 \cap \overline{3}) + P(1 \cap \overline{2} \cap
3) + P(\overline{1} \cap 2 \cap 3) = w_1 w_2 \left(1 - w_3\right) + w_1 \left(1
- w_2\right) w_3 + \left(1 - w_1\right) w_2 w_3 \approx 45{,}8 \,\%;>

=item b)

M<P(A_{\text{b}}) = P(A_{\text{a}}) + P(1 \cap 2 \cap 3) = P(A_{\text{a}}) +
w_1 w_2 w_3 \approx 70{,}8 \,\%;>

=item c)

M<P(A_{\text{c}}) = 1 - P(A_{\text{b}}) + P(A_{\text{a}}) = 75 \,\%;>

=item d)

M<P(A_{\text{d}}) = P(\overline{1} \cap \overline{2} \cap \overline{3}) =
\left(1 - w_1\right) \left(1 - w_2\right) \left(1 - w_3\right) \approx 4{,}2
\,\%;>

=back

M<\Omega = \left\{ 0, 1 \right\}^3;>