=for timestamp
Mo Feb 20 16:34:43 CET 2006

=head2 55. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 150, Aufgabe 30

Aus einer Sterbetafel kann man ausgehend von einer großen Anzahl M<N(x)> von
M<x>-jährigen Personen die Anzahl M<N(y)> der davon im Alter von M<y> noch
lebenden Personen entnehmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig
ausgewählte M<x>-jährige Person das Alter M<y> erreicht, ist M<N(y) : N(x)>.

Die folgende Tabelle zeigt einen Auszug aus einer Sterbetafel:

=table Alter | Überlebende
=row   M<0>  | M<100\,000>
=row   M<30> | M<82\,577>
=row   M<40> | M<79\,412>
=row   M<50> | M<74\,152>

Unter geeigneten Annahmen über die Unabhängigkeit berechne man die
Wahrscheinlichkeit, dass von zwei Personen mit 30 bzw. 40 Jahren nach 10
Jahren...

=over

=item a)

...beide noch leben.

M<\frac{N(40)}{N(30)} \cdot \frac{N(50)}{N(40)} = \frac{N(50)}{N(30)} \approx
89{,}8 \,\%;>

=item b)

...mindestens eine noch lebt.

M<1 - \left(1 - \frac{N(40)}{N(30)}\right) \left(1 - \frac{N(50)}{N(40)}\right)
\approx 99{,}7 \,\%;>

=item c)

...höchstens eine noch lebt.

M<1 - \frac{N(40)}{N(30)} \cdot \frac{N(50)}{N(40)} \approx 10{,}2 \,\%;>

=item d)

...keine mehr lebt.

M<\left(1 - \frac{N(40)}{N(30)}\right) \left(1 - \frac{N(50)}{N(40)}\right)
\approx 0{,}3 \,\%;>

=item e)

...genau eine noch lebt.

M<\frac{N(40)}{N(30)} \left(1 - \frac{N(50)}{N(40)}\right) + \left(1 -
\frac{N(40)}{N(30)}\right) \frac{N(50)}{N(40)} \approx 9{,}9 \,\%;>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 150, Aufgabe 31

Ein Gerät werde aus 35 Komponenten montiert. Sobald eine Komponente defekt ist,
fällt das Gerät aus. Bei den Komponenten handelt es sich teils um Zulieferteile
und teils um selbst hergestellte Zwischenprodukte. Die Zulieferteile haben
erfahrungsgemäß einen Ausschussanteil von M<1 \,\%> und die selbst
hergestellten Teil von M<0{,}1 \,\%>. Das Gerät enthält zehn Zulieferteile. Die
restlichen Komponenten werden selbst gefertigt.

=over

=item a)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein funktionsfähiges Gerät zu montieren?

M<\left(1 - 1\,\%\right)^{10} \left(1 - 0{,}1 \,\%\right)^{35-10} \approx
88{,}2 \,\%;>

=item b)

Wie groß ist der Anteil der Geräte, die aufgrund mindestens eines fehlerhaften
Zulieferteils defekt sind?

M<1 - \left(1 - 1\,\%\right)^{10} \approx 9{,}6 \,\%;>

=item c)

Ist das Qualitätsziel "99 % fehlerfreie Geräte vor Endprüfung" zu erreichen,
wenn das Qualitätsniveau der Zulieferteile auf das der selbst produzierten
Teile erhöht wird?

M<\left(1 - 0{,}1\,\%\right)^{35} \approx 96{,}6 \,\% E<lt> 99 \,\%;>

=item d)

Mit welchem Ausschussanteil der Komponenten kann das Qualitätsziel erreicht
werden? (Der Ausschussanteil der Zulieferteile und der selbst hergestellten
Teile soll gleich groß sein.)

M<\left(1 - x\right)^{35} \geq 99 \,\%;> ⇒ M<x \geq 1 - \sqrt[35]{99 \,\%}
\approx 0{,}029 \,\%;>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 150, Aufgabe 32

Ein Gerät bestehe aus drei Bauteilen M<T_1>, M<T_2>, M<T_3>. Es sei
funk­tions­tüch­tig, wenn das Teil M<T_1> störungsfrei arbeitet oder die beiden
Teile M<T_2> und M<T_3> zusammen.

=over

=item a)

Zeichnen Sie das Schaltbild.

Parallelschaltung, bestehend aus M<T_1> in einem Ast und einer Reihenschaltung
aus M<T_2> und M<T_3> im anderen Ast.

=item b)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit funktioniert das Gerät, wenn die Bauteile mit
den Wahrscheinlichkeiten M<p_1 = 0{,}7>, M<p_2 = p_3 = 0{,}8> intakt sind?

M<p_1 \left(1 - p_2\right) \left(1 - p_3\right) + p_1 \left(1 - p_2\right) p_3
+ p_1 p_2 \left(1 - p_3\right) + \left(1 - p_1\right) p_2 p_3 + p_1 p_2 p_3 =
p_1 + \left(1 - p_1\right) p_2 p_3 = 89{,}2 \,\%;>

=back