=for timestamp
Sa Feb 25 16:47:01 CET 2006

=head2 57. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 162, Aufgabe 1

Welche Lage hat M<g{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\3\\-1\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\2\end{smallmatrix}\!\right)> zu...

=over

=item *

M<a{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-5\\-1\end{smallmatrix}\!\right) + \alpha
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-2\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\forall r \in \mathds{R}{:}\,
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\2\end{smallmatrix}\!\right) \neq r
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-2\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

⇒ M<g> und M<a> sind nicht parallel.

Gleichsetzen bringt keinen Widerspruch ⇒ M<g> und M<a> schneiden sich in einem Punkt.

=item *

M<b{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-5\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \beta
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-2\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\forall r \in \mathds{R}{:}\,
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\2\end{smallmatrix}\!\right) \neq r
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-2\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

⇒ M<g> und M<b> sind nicht parallel.

Gleichsetzen bringt Widerspruch ⇒ M<g> und M<b> sind windschief.

=item *

M<c{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-5\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \gamma
\left(\!\begin{smallmatrix}-1\\-2\\-2\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\2\end{smallmatrix}\!\right) = -
\left(\!\begin{smallmatrix}-1\\-2\\-2\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

⇒ M<g> und M<c> sind parallel.

M<\forall r \in \mathds{R}{:}\,
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-5\\0\end{smallmatrix}\!\right) -
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\3\\-1\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\-8\\1\end{smallmatrix}\!\right) \neq r
\left(\!\begin{smallmatrix}-1\\-2\\-2\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

⇒ M<g> und M<c> sind echt parallel.

=item *

M<d{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}-1\\-1\\-5\end{smallmatrix}\!\right) + \delta
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\4\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\2\end{smallmatrix}\!\right) = \frac{1}{2}
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\4\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

⇒ M<g> und M<d> sind parallel.

M<\left(\!\begin{smallmatrix}-1\\-1\\-5\end{smallmatrix}\!\right) -
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\3\\-1\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}-2\\-4\\-4\end{smallmatrix}\!\right) =
-\left(\!\begin{smallmatrix}2\\4\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

⇒ M<g> und M<d> sind identisch.

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