=for timestamp
Mo Mär 13 16:57:25 CET 2006

=head2 60. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 167, Aufgabe 19

M<g{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\-1\\2\end{smallmatrix}\!\right)
+ \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}2\\2\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<h_a{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\2a\\-a\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu a
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\2\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=over

=item a)

Beschreibe die Schar M<h_a>.

Geradenbüschel durch
M<\left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right)>. (Ebene, in der
eine Gerade fehlt.)

=item b)

Für welche Werte von M<a> sind M<g> und M<h_a> parallel (identisch)?

M<\left(\!\begin{smallmatrix}2\\2\\-1\end{smallmatrix}\!\right) = r
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\2a\\-a\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

⇒ M<r = 2;>

⇒ M<a = \frac{1}{2};>

=item c)

Für welche Werte von M<a> schneiden sich M<g> und M<h_a>?

Gleichsetzen bringt Widerspruch ⇔ M<g> und M<h_a> schneiden sich niemals in
einem Punkt.

=item d)

Für welche Werte von M<a> sind M<g> und M<h_a> windschief?

Für M<a \neq \frac{1}{2}>.

=back


=for timestamp
Di Mär 14 20:52:02 CET 2006

=head3 Geometrie-Buch Seite 168, Aufgabe 23

M<j_a{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\5-5a\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}1-a\\a-1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=over

=item a)

Welche Schargerade geht durch M<P(-45, 0, 5)>?

Gleichsetzen von M<\vec P> mit M<\vec X> bringt M<\mu = 5> und M<a = 10>.

=item b)

Welche Schargeraden sind parallel zu M<\vec v =
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right)>, M<\vec w =
\left(\!\begin{smallmatrix}-1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right)>?

M<a = 2> und XXX

=item c)

Gestimme den geometrischen Ort der Punkte, die zum Parameterwert M<\mu = 2>
gehören.

M<g{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\5-5a\\0\end{smallmatrix}\!\right) +
2\left(\!\begin{smallmatrix}1-a\\a-1\\1\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\5\\0\end{smallmatrix}\!\right) +
a \left(\!\begin{smallmatrix}0\\-5\\0\end{smallmatrix}\!\right) +
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\-2\\2\end{smallmatrix}\!\right) + a
\left(\!\begin{smallmatrix}-2\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\3\\2\end{smallmatrix}\!\right) + a
\left(\!\begin{smallmatrix}-2\\-3\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item d)

Bestimme den geometrischen Ort der Spurpunkte in der M<x_1>-M<x_3>-Ebene.

M<\left(\!\begin{smallmatrix}x_1\\0\\x_3\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\5-5a\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}1-a\\a-1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

Auflösen bringt für M<\mu>: M<\mu = \frac{5a - 5}{a - 1} = 5> für M<a \neq 1;>

Mit M<x_3 = \mu> und M<x_1 = x_3 - a x_3> ergibt sich für den geometrischen Ort
der Spurpunkte:

M<h{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}5-5a\\0\\5\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}5\\0\\5\end{smallmatrix}\!\right) + a
\left(\!\begin{smallmatrix}-5\\0\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad a \in
\mathds{R} \cup \left\{ 1 \right \}\!;>

Zusätzlich ergibt sich für M<a = 1> noch: M<\vec X = \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;> Auf dieser
Geraden liegen auch noch Spurpunkte.

=item e)

Zeige, dass je zwei Schargeraden windschief sind.

M<a_1 \neq a_2;>

Ausschlus der Parallelität:
M<\left(\!\begin{smallmatrix}1-a_1\\a_1-1\\1\end{smallmatrix}\!\right) \neq r
\left(\!\begin{smallmatrix}1-a_2\\a_2-1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;> →
Widerspruch (M<a_1 = a_2>)

Ausschlus eines gemeinsamen Schnittpunkts: Gleichsetzen bringt M<\mu_1 =
\mu_2> und damit M<a_1 = a_2>; Widerspruch.

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