=for timestamp
Sa Mär 18 20:41:38 CET 2006

=head2 63. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 22, Aufgabe 1a

Löse das Gleichungssystem:

M<\left.\begin{array}{@{}rcrcrcl}
{} 10x_1 &+&  x_2 &-& 2x_3 &=& 2; \\
{}   x_1 &+& 2x_2 &+& 2x_3 &=& 3; \\
{}  4x_1 &+& 4x_2 &+& 3x_3 &=& 5;
\end{array}\right\} \Leftrightarrow (x_1, x_2, x_3) = (1, -2, 3);>

=head3 Geometrie-Buch Seite 176, Aufgabe 13

Bestimme den Parameter so, dass M<P(1, 2, -5)> in der Ebene liegt.

=over

=item a)

M<E{:}\, x_1 - 2x_2 + x_3 - a = 0;>

⇔ M<a = P_1 - 2 P_2 + P_3 = 1 - 4 - 5 = -8;>

=item b)

M<F{:}\, a x_1 + x_2 = 0;>

⇔ M<a = -\frac{P_2}{P_1} = -2;>

=item c)

M<G{:}\, 2x_1 - 3x_2 + ax_3 = 2a;>

⇔ M<a = \frac{-2 P_1 + 3 P_2}{P_3 - 2} = -\frac{4}{7};>

=back

=head3 Geometrie-Buch Seite 176, Aufgabe 14

Gib Koordinatengleichungen der Koordinatenebenen an.

M<x_1 = 0;> (M<x_2>-M<x_3>-Ebene)

M<x_2 = 0;> (M<x_1>-M<x_3>-Ebene)

M<x_3 = 0;> (M<x_1>-M<x_2>-Ebene)

=head3 Geometrie-Buch Seite 178, Aufgabe 24

M<g_a{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\2\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}a-1\\2a+2\\-a\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
\mu, a \in \mathds{R};>

=over

=item a)

Zeige, dass alle Geraden der Schar in einer Ebene M<F> liegen.

=item b)

Gib eine Parameter- und Koordinatengleichung dieser Ebene M<F> an.

=item c)

Welche Ebenenpunkte kommen in der Geradenschar nicht vor?

=back

M<g_a{:}\, \vec X = 
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\2\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}a-1\\2a+2\\-a\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\2\end{smallmatrix}\!\right) +
\mu \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right) +
\mu a \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
\mu, a \in \mathds{R};>

M<\mu> und M<a> können beliebig aus M<\mathds{R}> gewählt werden; ist
allerdings M<\mu> M<0>, so ist M<\mu a> auch M<0>. Es ist also nicht möglich,
den ersten Richtungsvektoren zu streichen und zugleich den zweiten zu behalten.

In einer Ebene darf aber keine Gerade fehlen; daher ersetzen wir M<\mu a> mit
M<\nu>, wobei M<\nu>, wenn M<a> M<0> ist, nicht auch notwendigerweise M<0> sein
muss.

M<F{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\2\end{smallmatrix}\!\right) +
\mu \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right) +
\nu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \mu,
\nu \in \mathds{R};>

Auflösen nach M<\mu> und M<\nu> und Einsetzen bringt als Koordinatengleichung:

M<F{:}\, x_1 + \frac{1}{2} x_2 - 2 = 0; \quad x_1, x_2, x_3 \in \mathds{R};>

Die fehlenden Punkte sind die Ebenenpunkte, für die M<\mu> zwar M<0> ist,
M<\nu> jedoch nicht, mit Ausnahme des Aufpunkts.

M<h{:}\, 
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\2\end{smallmatrix}\!\right) +
0 \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\2\\0\end{smallmatrix}\!\right) +
\nu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\-1\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\2\end{smallmatrix}\!\right) +
\nu \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad \nu
\in \mathds{R} \setminus \left\{ 0 \right\};>