=for timestamp
Mi Mär 29 19:17:50 CEST 2006

=head2 68. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 197, Aufgabe 6

Beschreibe die Lage von M<E> und M<F> und stelle gegebenenfalls eine Gleichung
der Schnittgerade M<s> auf.

=over

=item a)

M<E{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\-3\\2\end{smallmatrix}\!\right)
+ \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}-2\\3\\3\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}4\\4\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
F{:} \, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}0\\3\\7\end{smallmatrix}\!\right) +
\sigma \left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\-1\end{smallmatrix}\!\right) + \tau
\left(\!\begin{smallmatrix}6\\1\\-4\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

Überprüfung der Komplanarität der vier Richtungsvektoren:

=over

=item *

M<\begin{vmatrix}-2&4&2\\3&4&1\\3&-1&-1\end{vmatrix} = 3
\begin{vmatrix}4&2\\4&1\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}-2&2\\3&1\end{vmatrix} -
\begin{vmatrix}-2&4\\3&4\end{vmatrix} = -12 - 8 + 20 = 0;>

=item *

M<\begin{vmatrix}-2&4&6\\3&4&1\\3&-1&-4\end{vmatrix} = 3
\begin{vmatrix}4&6\\4&1\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}-2&6\\3&1\end{vmatrix} -
\begin{vmatrix}-2&4\\3&4\end{vmatrix} = -60 - 20 + 80 = 0;>

=back

Verbindungsvektor der Aufpunkte: M<\vec d =
\left(\!\begin{smallmatrix}-1\\6\\5\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

Überprüfung der Komplanarität des Verbindungsvektors mit den Richtungsvektoren:

M<\begin{vmatrix}-2&4&-1\\3&4&6\\3&-1&-5\end{vmatrix} = 3
\begin{vmatrix}4&-1\\4&6\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}-2&-1\\3&6\end{vmatrix}
+ 5 \begin{vmatrix}-2&4\\3&4\end{vmatrix} = 3 \cdot 28 - 9 - 100 = -25;> ⇔ M<E
\cap F = \varnothing;>

=item b)

M<E{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\0\\6\end{smallmatrix}\!\right)
+ \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\-4\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
F{:} \, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}3\\-3\\8\end{smallmatrix}\!\right) +
\sigma \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\-4\end{smallmatrix}\!\right) + \tau
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-3\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

Überprüfung der Komplanarität der vier Richtungsvektoren:

=over

=item *

M<\begin{vmatrix}-1&2&1\\1&-4&1\\1&1&-4\end{vmatrix} = 0;>

=item *

M<\begin{vmatrix}-1&2&1\\1&-4&-3\\1&1&2\end{vmatrix} = 0;>

=back

Verbindungsvektor der Aufpunkte: M<\vec d =
\left(\!\begin{smallmatrix}-1\\-3\\2\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

Überprüfung der Komplanarität des Verbindungsvektors mit den Richtungsvektoren:

M<\begin{vmatrix}-1&2&1\\1&-4&-3\\1&1&2\end{vmatrix} = 0;> ⇔ M<E \cap F = E =
F;>

=back