=for timestamp
Fr Mär 31 15:22:12 CEST 2006

=head2 69. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 196, Aufgabe 4

Beschreibe die Lage von M<E> und M<F> und stelle gegebenenfalls eine Gleichung
der Schnittgerade M<s> auf.

=over

=item a)

M<E{:}\, 2 x_1 - x_2 + 2 x_3 - 4 = 0; \quad
{}F{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\2\end{smallmatrix}\!\right)
+ \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}1\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

Einsetzen von M<x_1>, M<x_2>, M<x_3> aus der Gleichung von M<F> in M<E> bringt:

M<2 + 2 \lambda + 4 \lambda - 2 - \mu + 4 + 2 \lambda - 4 = 4 \lambda + 3 \mu =
0;> ⇔ M<\lambda = -\frac{3}{4} \mu;>

M<E \cap F = s> mit M<s{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\2\end{smallmatrix}\!\right) - \frac{3}{4}\mu
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\0\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\2\\2\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}\frac{5}{4}\\1\\-\frac{3}{4}\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item b)

M<E{:}\, x_1 + x_2 + 3 x_3 - 6 = 0; \quad
{}F{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right)
+ \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}3\\0\\-1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-3\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

Einsetzen von M<x_1>, M<x_2>, M<x_3> aus der Gleichung von M<F> in M<E> bringt:

M<1 + 3 \lambda + \mu + 1 - 3 \mu - 3 \lambda + 3 \mu - 6 = -4 + \mu = 0;> ⇔
M<\mu = 4;>

M<E \cap F = s> mit M<s{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\1\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda
\left(\!\begin{smallmatrix}3\\0\\-1\end{smallmatrix}\!\right) + 4
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-3\\1\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}5\\-11\\4\end{smallmatrix}\!\right) + \lambda
\left(\!\begin{smallmatrix}3\\0\\-1\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=back

=head3 Geometrie-Buch Seite 197, Aufgabe 6c

Beschreibe die Lage von M<E> und M<F> und stelle gegebenenfalls eine Gleichung
der Schnittgerade M<s> auf.

M<E{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\3\\2\end{smallmatrix}\!\right)
+ \lambda \left(\!\begin{smallmatrix}-3\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-1\\1\end{smallmatrix}\!\right)\!; \quad
{}F{:}\, \vec X = \left(\!\begin{smallmatrix}2\\2\\2\end{smallmatrix}\!\right)
+ \sigma \left(\!\begin{smallmatrix}-1\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \tau
\left(\!\begin{smallmatrix}-2\\1\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\lambda \left(\!\begin{smallmatrix}-3\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \mu
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \sigma
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-1\\-1\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}0\\-1\\0\end{smallmatrix}\!\right) + \tau
\left(\!\begin{smallmatrix}-2\\1\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<D = \begin{vmatrix}-3&1&1\\1&-1&-1\\1&1&-1\end{vmatrix} = 0 - 2 - 2 = -4;>

M<D_1 = \begin{vmatrix}-2\tau&1&1\\\tau-1&-1&-1\\3\tau&1&-1\end{vmatrix} =
-2\tau - 2;> ⇔ M<\lambda = \frac{D_1}{D} = \frac{\tau}{2} + \frac{1}{2};>

M<D_2 = \begin{vmatrix}-3&-2\tau&1\\1&\tau-1&-1\\1&3\tau&-1\end{vmatrix} =
-4\tau - 2;> ⇔ M<\mu = \frac{D_2}{D} = \tau + \frac{1}{2};>

M<E \cap F = s> mit M<s{:}\, \vec X =
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\3\\2\end{smallmatrix}\!\right) + \frac{1}{2}
\left(\!\begin{smallmatrix}-3\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \frac{1}{2}\tau
\left(\!\begin{smallmatrix}-3\\1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \frac{1}{2}
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\-1\\1\end{smallmatrix}\!\right) + \tau
\left(\!\begin{smallmatrix}-1\\-1\\1\end{smallmatrix}\!\right) =
\left(\!\begin{smallmatrix}1\\3\\3\end{smallmatrix}\!\right) + \tau
\left(\!\begin{smallmatrix}-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{smallmatrix}\!\right)
\equiv \left(\!\begin{smallmatrix}1\\3\\3\end{smallmatrix}\!\right) + \tau'
\left(\!\begin{smallmatrix}-1\\-1\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!;>