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Di Apr 25 17:13:52 CEST 2006

=head2 71. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 93, Aufgabe 1

M<A(2,0,-1)>, M<B(8,-3,11)>. M<S> und M<T> teilen M<\left[AB\right]> in drei
gleiche Teile. Berechne M<S> und M<T>.

M<\vec S = \vec A + \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} =
\left(\!\begin{smallmatrix}4\\-1\\3\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\vec T = \vec A + \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} =
\left(\!\begin{smallmatrix}6\\-2\\7\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

(Def.: M<\left(\!\begin{smallmatrix}a\\b\\c\end{smallmatrix}\!\right) :
\left(\!\begin{smallmatrix}k a\\k b\\k c\end{smallmatrix}\!\right) :=
\frac{1}{k};>)

M<S> teilt M<\left[AB\right]> im Verhältnis M<\lambda_1 =
\frac{\overrightarrow{AS}}{\overrightarrow{SB}} = \frac{1}{2};>

M<T> teilt M<\left[AB\right]> im Verhältnis M<\lambda_2 =
\frac{\overrightarrow{AT}}{\overrightarrow{TB}} = 2;>

=head3 Geometrie-Buch Seite 94, Aufgabe 9

M<P(0, \frac{3}{2}, 4); \quad Q(3, 0, 4);>

Berechne die Punkte M<S> und M<T>, die M<\left[PQ\right]> harmonisch im
Verhältnis M<\left|\sigma\right| = 2> teilen.

M<\vec S - \vec P = \overrightarrow{PS} = 2 \overrightarrow{SQ} = 2 \vec Q - 2
\vec S;> ⇔ M<3 \vec S = 2 \vec Q + \vec P;> ⇔ M<\vec S =
\left(\!\begin{smallmatrix}2\\\frac{1}{2}\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

M<\vec T - \vec P = \overrightarrow{PT} = -2 \overrightarrow{TQ} = -2 \vec Q + 2
\vec T;> ⇔ M<-\vec T = -2 \vec Q + \vec P;> ⇔ M<\vec T = 2 \vec Q - \vec P = 
\left(\!\begin{smallmatrix}6\\-\frac{3}{2}\\4\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=head3 Geometrie-Buch Seite 94, Aufgabe 10

M<A(2,10,5)>, M<B(23,-4,33)>, M<S(11,4,17)>

=over

=item a)

M<S> und M<T> teilen M<\left[AB\right]> harmonisch. Berechne M<T>.

M<\overrightarrow{AS} = \sigma \overrightarrow{SB};> ⇔ M<\sigma =
\frac{\overrightarrow{AS}}{\overrightarrow{SB}};>

M<\overrightarrow{AT} = -\sigma \overrightarrow{TB} =
-\frac{\overrightarrow{AS}}{\overrightarrow{SB}} \overrightarrow{TB};>

M<\vec T \left(1 - \frac{\overrightarrow{AS}}{\overrightarrow{SB}}
\overrightarrow{TB}\right) = \vec A - \vec B
\frac{\overrightarrow{AS}}{\overrightarrow{SB}} \overrightarrow{TB};> ⇔ M<\vec
T= \left(\!\begin{smallmatrix}-61\\52\\-79\end{smallmatrix}\!\right)\!;>

=item b)

M<A> und M<B> teilen M<\left[ST\right]> im Verhältnis M<\alpha> und M<\beta>.
Berechne M<\alpha> und M<\beta>.

M<\alpha = \frac{\overrightarrow{SA}}{\overrightarrow{AT}} = \frac{1}{7};>

M<\beta  = \frac{\overrightarrow{SB}}{\overrightarrow{BS}} = -\frac{1}{7};>

=back