=for timestamp
Di Mai  2 17:08:27 CEST 2006

=head2 74. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 129, Aufgabe 3

Warum ist die Menge aller Polynome von genau zweitem Grad (Koeffizient M<a_2
\neq 0>) kein Vektorraum mit den Verknüpfungen vom [Vektorraum aller Polynome
dritten Grades]?

Weil es keinen Nullvektor gibt (M<0x^2 + 0x + 0> wegen der Bedingung M<a_2 \neq
0> ausgeschlossen).

=head3 Geometrie-Buch Seite 129, Aufgabe 6

Sind folgende Mengen von Tripeln Vektorräume mit den Ver­knüp­fun­gen vom
[dreidimensionalen arithmetischen Vektorraum]?

=over

=item a)

M<M = \left\{ (a,b,c) \middle| a = 2 b \wedge a,b,c \in \mathds{R} \right\}\!;>

Ja.

=item b)

M<M = \left\{ (a,b,c) \middle| a \leq b \leq c \wedge a,b,c \in \mathds{R}
\right\}\!;>

Nein: M<(1,2,3)> hat kein Inverses (M<\left(-1, -2, -3\right) \not\in M>).

=for comment
M<(a,b,c) + (\alpha,\beta,\gamma) = (a+\alpha,b+\beta,c+\gamma)...

=item c)

M<M = \left\{ (a,b,c) \middle| a b = 0 \wedge a,b,c \in \mathds{R} \right\}\!;>

Nein: M<(a,0,c) + (0,\beta,\gamma) = (a,\beta,c+\gamma) \not\in M;> (M<a \beta>
nicht allgemein M<0>)

=item d)

M<M = \left\{ (a,b,c) \middle| a = b = c \wedge a,b,c \in \mathds{R}
\right\}\!;>

Ja, M<M> ist isomorph zu M<\mathds{R}^1>.

=item e)

M<M = \left\{ (a,b,c) \middle| a = b^2 \wedge a,b,c \in \mathds{R} \right\}\!;>

Nein.

M<-(b^2,b,c) = (-b^2, -b, -c) \not\in M;> (M<\left(-b\right)^2 = b^2 \neq
-b^2>)

=item f)

M<M = \left\{ (a,b,c) \middle| k_1 a + k_2 b + k_3 c = 0 \wedge a,b,c \in
\mathds{R} \right\}\!;> M<k_i> seien feste reelle Zahlen.

Ja, da M<k_i = 0> möglich, ist M<M = \mathds{R}^3> und bildet damit mit den
üblichen Verknüpfungen einen Vektorraum.

=back

=head3 Geometrie-Buch Seite 130, Aufgabe 7

M<M> sei die Menge alle Paare reeller Zahlen.

Zeige: M<M> ist kein Vektorraum über M<\mathds{R}>, wenn die Verknüpfungen
M<(+)> und M<(\cdot)> so definiert werden:

=over

=item a)

M<(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d); \quad \mu \cdot (a,b) = (\mu a,b);>

Nein: M<(0,0) = 0 \cdot (a,b) \neq \left(-1 + 1\right) \cdot (a,b) =
\left(-1\right) \cdot (a,b) + (a,b) = (-a,b) + (a,b) = (0,2b);> (Verletzung des
Distributivgesetzes für Skalare)

=item b)

M<(a,b) + (c,d) = (a,b); \quad \mu \cdot (a,b) = (\mu a,\mu b);>

Nein: M<a + b = a \neq b = b + a> (Verletzung des Kommutativgesetzes)

=item c)

M<(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d); \quad \mu \cdot (a,b) = (\mu^2 a,\mu^2 b);>

Nein: M<\left(-1\right) \cdot (a,b) = (a,b) = 1 \cdot (a,b);> (Mehrere neutrale
Elemente)

=back