=for timestamp
Mi Mai  3 16:24:33 CEST 2006

=head2 75. Hausaufgabe

=head3 Geometrie-Buch Seite 113, Aufgabe 13a

M<\vec a> und M<\vec b> seien linear unabhängig.

Untersuche M<\vec u> und M<\vec v> auf lineare Abhängigkeit:

M<\vec u = \vec a + \vec b; \quad \vec v = \vec a - \vec b;>

M<\lambda \vec u + \mu \vec v = \lambda \vec a + \lambda \vec b + \mu \vec a -
\mu \vec b = \vec a \left(\lambda + \mu\right) + \vec b \left(\lambda -
\mu\right) = 0;>

M<\lambda + \mu = \lambda - \mu = 0;> ⇔ M<(\lambda, \mu) = (0, 0);>

Also: M<\vec u> und M<\vec v> sind linear unabhängig.

=head3 Geometrie-Buch Seite 113, Aufgabe 14

M<\vec a>, M<\vec b> und M<\vec c> seien linear unabhängig.

Untersuche M<\vec u>, M<\vec v> und M<\vec w> auf linear Abhängigkeit:

=over

=item a)

M<\vec u = \vec a + \vec b; \quad \vec v = \vec b + \vec c; \quad \vec w = \vec
a + \vec c;>

M<\lambda \vec u + \mu \vec v + \nu \vec w =
\lambda \vec a + \lambda \vec b + \mu \vec b + \mu \vec c + \nu \vec a + \nu \vec c =
\vec a \left(\lambda + \nu\right) + \vec b \left(\lambda + \mu\right) + \vec c
\left(\mu + \nu\right) = 0;>

M<\lambda + \nu = \lambda + \mu = \mu + \nu = 0;> ⇔ M<(\lambda, \mu, \nu) = (0,
0, 0);>

Also: M<\vec u>, M<\vec v> und M<\vec w> sind linear unabhängig.

=item b)

M<\vec u = \vec c - \vec a; \quad \vec v = \vec b - \vec c; \quad \vec w = \vec
b - \vec a;>

M<\lambda \vec u + \mu \vec v + \nu \vec w =
\lambda \vec c - \lambda \vec a + \mu \vec b - \mu \vec c + \nu \vec b - \nu \vec a =
\vec a \left(-\lambda - \nu\right) + \vec b \left(\mu + \nu\right) + \vec c
\left(\lambda - \mu\right) = 0;>

M<-\lambda - \nu = \mu + \nu = \lambda - \mu = 0;> ⇔ M<(\lambda, \mu, \nu) =
(-k, -k, k);>

Also: M<\vec u>, M<\vec v> und M<\vec w> sind linear abhängig (es gibt nicht
nur die triviale Nullsumme).

=item c)

M<\vec u = \vec a + \vec b + \vec c; \quad \vec v = \vec a + \vec b; \quad \vec w = \vec a - \vec c;>

M<L \vec u + \mu \vec v + \nu \vec w =
\lambda \vec a + \lambda \vec b + \lambda \vec c + \mu \vec a + \mu \vec b + \nu \vec a - \nu \vec c =
\vec a \left(\lambda + \mu + \nu\right) + \vec b \left(\lambda + \mu\right) +
\vec c \left(\lambda - \nu\right) = 0;>

M<\lambda + \mu + \nu = \lambda + \mu = \lambda - \nu;> ⇔ M<(\lambda,\mu,\nu) =
(0,0,0);>

Also: M<\vec u>, M<\vec v> und M<\vec w> sind linear unabhängig.

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