=for timestamp
Di Mai 23 20:16:22 CEST 2006

=head2 81. Hausaufgabe

=head3 Analysis-Buch Seite 113, Aufgabe 38

M<\mathrm{f}_t(x) = \left(e^x - t\right)^2; \quad D_{\mathrm{f}_t} =
\mathds{R}; \quad t E<gt> 0;>

M<\mathrm{f}_t'(x) = 2 \left(e^x - t\right) \cdot e^x;>

=over

=item d)

M<G_{\mathrm{f}_t}>, die zugehörige Asymptote und die Gerade M<x = -u> (M<u
E<gt> 0>) umschließen ein Flächenstück.

Berechne dessen Inhalt. Was ergibt sich für M<u \to +\infty>?

M<A_t(u) = \int\limits_{-u}^{\ln 2t} \left(t^2 - \mathrm{f}_t(x)\right)
\mathrm{d}x = \left[t^2 x - \frac{1}{2} e^{2 x} + 2 e^x t - t^2
x\right]_{-u}^{\ln 2t} = t^2 \cdot \ln 2 t - \frac{1}{2} \left(2 t\right)^2 + 2
\cdot 2t \cdot t - t^2 \cdot \ln 2 t + t^2 u + \frac{1}{2} e^{-2 u} + 2 e^{-u}
t + t^2 u;>

M<\lim\limits_{u \to \infty} A_t(u) = \infty;>

=item e)

Zeige, dass sich je zwei Graphen der Schar in genau einem Punkt M<P> schneiden.
Wann liegt M<P> auf der M<y>-Achse?

M<\mathrm{f}_{t_1}(x) = \mathrm{f}_{t_2}(x);>

M<e^x - t_1 = \pm\left(e^x - t_2\right) = \pm e^x \mp t_2;>

M<e^x \left(1 \mp 1\right) = t_1 \mp t_2;>

M<x = \ln \frac{t_1 + t_2}{2};> (definiert für alle M<t_1>, M<t_2>) →
M<P\!\left(\ln \frac{t_1 + t_2}{2}, \left(\frac{t_1 + t_2}{2} -
t_1\right)^2\right)\!;>

M<x = \ln \frac{t_1 + t_2}{2} = 0;> ⇔ M<\frac{t_1 + t_2}{2} = 1;> ⇔ M<t_1 + t_2
= 2;>

=helper MyBook::Helper::Gnuplot

# File automatically generated by Webplot, a webfrontend for Gnuplot written by
# Ingo Blechschmidt <iblech@web.de>, on Tue, 23 May 2006 20:35:41 CEST.

# Global settings
set samples 10000
unset border
set xtics axis
set ytics axis
set xzeroaxis lt -1
set yzeroaxis lt -1

# Coordinate system settings
set title ""
set xlabel "\nx\n"
set ylabel "y\n"
set xrange [ -2.400000 : 2.400000 ]
set yrange [ -1.500000 : 4.500000 ]
set grid
set xtics 0.500000
set ytics 1.000000

# Function definitions
func0(x) = (exp(1)**x-2.)**2.
func1(x) = (exp(1)**x-5.)**2.

# Plotting
plot func0(x) t "f_2" w l lt 1, func1(x) t "f_5" w l lt 2

=hend

=back