=for timestamp
Fr Sep 15 15:33:24 CEST 2006

=head2 91. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 184, Aufgabe 1

M<X> kennzeichne die Anzahl der Merkmale "Zahl" beim Werfen einer fairen Münze.
Berechnen Sie M<E(X)>.

M<E(X) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2};>

=head3 Stochastik-Buch Seite 184, Aufgabe 2

M<X> kennzeichne die jeweils geworfene doppelte Augenzahl beim Werfen eines
echten Würfels. Berechnen Sie M<E(X)>.

M<\tilde X(\omega) = X(\omega) : 2; \quad E(\tilde X) = 3{,}5;>

M<E(X) = 2\, P_X(2) + 4\, P_X(4) + \cdots + 12\, P_X(12) = 2\, E(\tilde X) = 7;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 185, Aufgabe 4

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße M<X> sei symmetrisch zu
M<x = c>, d.h. M<P(X = c + x) = P(X = c - x)>. Zeigen Sie, dass M<E(X) = c>
gilt.

=for comment
Ursprüngliche "Lösung" (Hack):
M<E(X) = \sum\limits_{\Delta \in \mathds{R}} \left(c + \Delta\right) P(X = c +
\Delta) = \sum\limits_{\Delta in \mathds{R}_0^+} \left[\left(c + \Delta\right) P(X =
c + \Delta) + \left(c - \Delta\right) P(X = c - \Delta)\right] =
\sum\limits_{\Delta \in \mathds{R}_0^+} \left(c + \Delta + c - \Delta\right)
P(X = c + \Delta) = 2 c \sum\limits_{\Delta \in \mathds{R}_0^+} P(X = c +
\Delta) = 2c \cdot \frac{1}{2} = c;>

M<E(X) = c P(X = c) + \sum\limits_{\Delta E<gt> 0}\left[ \left(c +
\Delta\right) P(X = c + \Delta) + \left(c - \Delta\right) P(X = c + \Delta)
\right] = c P(X = c) + \sum\limits_{\Delta E<gt> 0} P(X = c + \Delta) \cdot 2c
= c \left[P(X = c) + 2 \sum\limits_{\Delta E<gt> 0} P(X = c + \Delta)\right] =
c \left[P(X = c) + \sum\limits_{\Delta E<gt> 0} P(X = c + \Delta) +
\sum\limits_{\Delta E<gt> 0} P(X = c - \Delta)\right] = c \sum\limits_{\Delta
\in \mathds{R}} P(X = c + \Delta) = c \cdot 1 = c>;

=head3 Stochastik-Buch Seite 185, Aufgabe 5

=over

=item a)

Eine Urne enthält zehn gleichartige Kugeln, welche die Nummern M<1> bis M<10>
tragen. Eine Kugel wird zufällig ausgewählt. M<X_{10}> sei die darauf
verzeichnete Zahl. Berechnen Sie M<E(X_{10})>.

M<E(X_{10}) = \frac{11}{2};>

=item b)

Aufgabe a) soll von M<10> auf die natürliche Zahl M<n> verallgemeinert werden.

M<E(X_n) = \frac{n + 1}{2};>

=item c)

Es werden aus der Urne mit zehn Kugeln zwei Kugeln zufällig mit Zurücklegen
gezogen. M<Y> sei das Maximum der Zahlen. Berechnen Sie M<E(Y)>.

=for latex
\begin{scriptsize}

M<E(Y) = \sum\limits_{\omega \in \Omega} X(\omega) P\!\left(\left\{ \omega
\right\}\right) = \frac{1}{100} \left[10 \cdot \left(1 \cdot 10 + 10 \cdot 1 -
1\right) + 9 \cdot \left(1 \cdot 9 + 9 \cdot 1 - 1\right) + \cdots + 1 \cdot
\left(1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 1\right)\right] = 7{,}15;>

=for latex
\end{scriptsize}

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