=for timestamp
Mo Sep 18 16:38:29 CEST 2006

=head2 92. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 185, Aufgabe 6

M<X> sei die Azzahl der M<K> beim viermaligen unabhänigen Werfen einer
Laplace-Münze.

=over

=item a)

Berechnen Sie M<E(X)>.

M<E(X) = \sum\limits_{n = 0}^4 n \cdot \frac{\binom{4}{n}}{16} = 2 = 4 E(X_i) =
4 \cdot \left(0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2}\right);>

=item b)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von M<Y = X - E(X)> und
berechnen Sie M<E(Y)>.

=table B<M<x>> | M<0> | M<1> | M<2> | M<3> | M<4>
=row   B<M<y>> | M<-2> | M<-1> | M<0> | M<1> | M<2>
=row   B<M<16 \,P(Y = y)>> | M<\binom{4}{0}> | M<\binom{4}{1}> | M<\binom{4}{2}> |
M<\binom{4}{3}> | M<\binom{4}{4}>

M<E(Y) = E(X - E(X)) = E(X) - E(E(X)) = E(X) - E(X) = 0;>

=item c)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von M<Z = \left(X -
E(X)\right)^2> und berechnen Sie M<E(Z)>.

M<E(Z) = \frac{1}{16} \left[4 \cdot 2 \cdot \binom{4}{0} + 1 \cdot 2 \cdot \binom{4}{1} + 0 \cdot
\binom{4}{2}\right] = 1;>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 185, Aufgabe 7

Ein amerikanisches Roulette-Rad hat 38 Felder, von denen 18 rot, 18 schwarz und
2 grün sind. Jemand setzt einen Euro auf Rot. Er kann dabei einen Euro gewinnen
oder verlieren. Zeigen Sie, dass der zu erwartende Verlust pro Spiel rund
M<5{,}3 \,\text{¢}> beträgt.

M<E(V) = -1 \,\text{€} \cdot \frac{18}{38} + 1 \,\text{€} \cdot \frac{18 + 2}{38} \approx
5{,}3 \,\text{¢}>.

=head3 Stochastik-Buch Seite 185, Aufgabe 9

Beim Würfelspiel "Zwei zu Eins" (Aufgabe 25 in 9) ist die
Gewinnwahrscheinlichkeit M<\frac{11}{27}>. Wie groß müsste die Gewinnauszahlung
beim Einsatz eines Euro sein bei einem fairen Spiel?

M<E(X) = \frac{11}{27} \cdot A + \frac{16}{27} \cdot -1 \,\text{€} = 0
\,\text{€};>

M<A = \frac{16}{27} \cdot \frac{27}{11} \cdot 1 \,\text{€} = \frac{16}{11}
\,\text{€};>

M<\text{Ausschüttung} = 1 \,\text{€} + A;> (faires Spiel ⇔
M<E(\text{Ausschüttung} = \text{Einsatz})>)

=head3 Stochastik-Buch Seite 185, Aufgabe 11

Eine Lotterie verkauft 10000 Lose zu je 2 €. Drei Lose gewinnen je 2000 €, fünf
Lose je 1000 € und 10 Lose je 500 €. Wie groß ist der erwartete Verlust des
Lotteriespielers?

M<E(X) = \frac{1}{10000} \left[3 \cdot \left(-1998 \,\text{€}\right) + 5 \cdot
\left(-998 \,\text{€}\right) + 10 \cdot \left(-498 \,\text{€}\right) +
\left(10000 - 3 - 5 - 10\right) \cdot 2 \,\text{€}\right] = \frac{10000 \cdot 2
\,\text{€} - 3 \cdot 2000 \,\text{€} - 5 \cdot 1000 \,\text{€} - 10 \cdot 500
\,\text{€}}{10000} = 40 \,\text{¢};>


=for timestamp
Di Sep 19 18:12:49 CEST 2006

"wie tief geht die eigene Schizophrenie?"