=for timestamp
Mi Sep 20 18:48:30 CEST 2006

=head2 94. Hausaufgabe

=for timestamp
Do Sep 21 17:50:15 CEST 2006

=head3 Stochastik-Buch Seite 190, Aufgabe 29

Beim unabhängigen Werfen zweier unterscheidbarer Laplace-Würfel sei M<X> die
kleinste, M<Y> die größte der Augenzahlen.

=over

=item a)

Stellen Sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstafel auf und leiten Sie daraus
die beiden Randverteilungen ab.

  y\x |  1  2  3  4  5  6 |
  ----+-------------------+---
    1 |  1  0  0  0  0  0 |  1
    2 |  2  1  0  0  0  0 |  3
    3 |  2  2  1  0  0  0 |  5
    4 |  2  2  2  1  0  0 |  7
    5 |  2  2  2  2  1  0 |  9
    6 |  2  2  2  2  2  1 | 11
  ----+-------------------+---
      | 11  9  7  5  3  1 | 36

=item b)

Begründen Sie anschaulich, warum M<X> und M<Y> nicht unabhängig sind und
bestätigen Sie dies auch durch Rechnung.

M<P(X = 2 \cap Y = 1) = 0 \neq \frac{9}{36} \frac{1}{36} = P(X = 2) P(Y = 1);>

=item c)

Berechnen Sie M<E(X)>, M<E(Y)> und M<E(X + Y)>.

M<E(X) = \frac{1}{36}\left[ 1 \cdot 11 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot 5 + 5
\cdot 5 + 6 \cdot 1 \right] = \frac{91}{36};>

M<E(Y) = \frac{1}{36}\left[ 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 + 5
\cdot 9 + 6 \cdot 11 \right] = \frac{161}{36};>

M<E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 7;>

=item d)

Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Augensumme M<Z> und der Summe aus
M<X> und M<Y>?

M<E(Z) = \frac{1}{36}\left[ 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + \cdots + 10
\cdot 3 + 11 \cdot 2 + 12 \cdot 1 \right] = 7 = E(X + Y);>

=item e)

Bestimmen Sie M<P(X \leq 3 \cap Y \leq 4)>.

M<P(X \leq 3 \cap Y \leq 4) = \frac{1}{36}\left[ \left(1+0+0\right) +
\left(2+1+0\right) + \left(2+2+1\right) + \left(2+2+2\right) \right] =
\frac{5}{12};>

=back

=for timestamp
Mi Sep 20 18:48:30 CEST 2006

=head3 Stochastik-Buch Seite 190, Aufgabe 31

M<X> sei eine Zufallsgröße mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung

=table M<x> | M<-2> | M<0> | M<2>
=row M<P(X = x)> | M<\frac{1}{3}> | M<\frac{1}{3}> | M<\frac{1}{3}>

Ferner sei M<Y = X^2>.

Zeigen Sie, dass M<E(X Y) = E(X) E(Y)> ist, obwohl M<X> und M<Y> abhängig sind.

M<P(X = 2) P(Y = 4) = \frac{1}{3} \frac{2}{3} = \frac{2}{9} \neq \frac{1}{3} =
P(X = 2 \cap Y = 4);>

M<E(X) E(Y) = \frac{1}{3} \left[\left(-2\right) + 0 + 2\right] \cdot
\frac{1}{3} \left[4 + 0 + 4\right] = 0 = \frac{1}{3} \left[\left(-2\right)
\cdot 4 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 4\right] = E(X Y);>

=head3 Stochastik-Buch Seite 190, Aufgabe 32

Die Seiten zweier Laplace-Würfel sind mit den Zahlen M<-3>, M<-2>, M<-1>, M<1>,
M<2>, M<3> bezeichnet. Die mit den Würfeln unabhängig geworfenen Augenzahlen
seien mit M<X> bzw. M<Y> bezeichnet.

=over

=item a)

Berechnen Sie M<E(X)> und M<E(Y)>.

M<E(X) = E(Y) = \frac{1}{6} \left[3 + 2 + 1 - 1 - 2 - 3\right] = 0;>

=item b)

Berechnen Sie M<E(X^2)> und M<E(Y^2)>.

M<E(X^2) = E(Y^2) = \frac{1}{6} \left[9 + 4 + 1 + 1 + 4 + 9\right] =
\frac{14}{3};>

=item c)

Berechnen Sie M<E(X Y)>.

M<E(X Y) = E(X) E(Y) = 0;>

=item d)

Berechnen Sie M<E((X + Y)^2)> zunächst im direkten Ansatz über die Aufstellung
der möglichen Summen und dann nach der Summenregel.

M<E((X + Y)^2) = E(X^2 + 2XY + Y^2) = \frac{14}{3} + 2 \cdot 0 \cdot 0 +
\frac{14}{3} = \frac{28}{3};>

=back