=for timestamp
Mo Sep 25 16:51:32 CEST 2006

=head2 95. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 199, Aufgabe 35

M<X> sei eine Zufallsgröße mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung

  x |   -1 |    0 |     1 |    2
  --+------+------+-------+-----
  P | 8/27 | 1/27 | 10/27 | 8/27

Berechnen Sie M<\operatorname{Var}(X)> mit der Verschiebungsformel.

M<\renewcommand{\arraystretch}{1.3}\begin{array}{rcl}
{}\operatorname{Var}(X) &=& E(X^2) - E^2(X) = \\
{}&=& \left[1 \cdot \frac{8}{27} + 0 \cdot \frac{1}{27} + 1 \cdot \frac{10}{27} + 4 \cdot \frac{8}{27}\right] - \\
{}&-& \left[\left(-1\right) \cdot \frac{8}{27} + 0 \cdot \frac{1}{27} + 1 \cdot \frac{10}{27} + 2 \cdot \frac{8}{27}\right]^2 = \\
{}&=& \frac{38}{27};
\end{array}>

=head3 Stochastik-Buch Seite 201, Aufgabe 50

Sei M<\Omega = \left\{ \omega_1, \omega_2, \omega_3 \right\}> mit
M<P\!\left(\left\{ \omega_i \right\}\right) = \frac{1}{3}> für M<i = 1, 2, 3>.

Ferner seien drei Zufallsgrößen M<X>, M<Y>, M<Z> auf M<(\Omega,P)> definiert
durch

M<X\!\left(\left\{ \omega_1 \right\}\right) = 1; \quad
{}X\!\left(\left\{ \omega_2 \right\}\right) = 2; \quad
{}X\!\left(\left\{ \omega_3 \right\}\right) = 3;>

M<Y\!\left(\left\{ \omega_1 \right\}\right) = 2; \quad
{}Y\!\left(\left\{ \omega_2 \right\}\right) = 3; \quad
{}Y\!\left(\left\{ \omega_3 \right\}\right) = 1;>

M<Z\!\left(\left\{ \omega_1 \right\}\right) = 3; \quad
{}Z\!\left(\left\{ \omega_2 \right\}\right) = 1; \quad
{}Z\!\left(\left\{ \omega_3 \right\}\right) = 2;>

=over

=item a)

Konstruieren Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen von M<X + Y>, M<Y + Z>,
M<Z + X>.

  w   | w1 | w2 | w3
  ----+----+----+---
  x   |  1 |  2 |  3
  y   |  2 |  3 |  1
  z   |  3 |  1 |  2
  ----+----+----+---
  x+y |  3 |  5 |  4
  y+z |  5 |  4 |  3
  z+x |  4 |  3 |  5
  ----+----+----+---
  P   |     1/3

=item b)

Begründen Sie die Abhängigkeit von M<X>, M<Y>, M<Z>.

Mit Kenntnis des Werts, den eine Zufallsgröße annimmt, ist ein
Elementarereignis eindeutig identifiziert. Damit kennt man auch die Werte der
anderen Zufallsgrößen.

=item c)

Berechnen Sie die Erwartungswerte und Varianzen von M<X>, M<Y>, M<Z>.

M<E(X) = E(Y) = E(Z) = 2;>

M<\operatorname{Var}(X) =
{}\operatorname{Var}(Y) =
{}\operatorname{Var}(Z) =
{}\frac{1}{3}\left[\left(1 - 2\right)^2 + \left(2-2\right)^2 +
\left(3-2\right)^2\right] = \frac{2}{3};>

=item d)

Berechnen Sie die Erwartungswerte und Varianzen der Summen in a).

M<E(X + Y) = E(Y + Z) = E(Z + X) = E(X) + E(Y) = 4;>

M<\operatorname{Var}(X + Y) =
{}\operatorname{Var}(Y + Z) =
{}\operatorname{Var}(Z + X) =
{}\frac{1}{3}\left[\left(3-4\right)^2 + \left(5-4\right)^2 +
{}  \left(4-4\right)^2\right] = \frac{2}{3};>

=item e)

Berechnen Sie den Erwartungswert von M<X \cdot Y>.

M<E(X Y) = \frac{1}{3}\left[2 + 6 + 3\right] = \frac{11}{3};>

=item f)

Was lässt sich über die Verteilung von M<X + Y + Z> aussagen?

M<W_{X + Y + Z} = \left\{ 6 \right\};>

M<P(X + Y + Z = 6) = 1;>

=item g)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von M<X + Y - Z> und
M<\frac{Z}{\left|X - Y\right|}>.

  x+y-z | 0 | 2 | 4
  ------+---+---+--
  P     |    1/3

  z/|x-y| |   1 |   3
  --------+-----+----
  P       | 2/3 | 1/3

=back