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Di Sep 26 17:53:56 CEST 2006

=head2 96. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 186, Aufgabe 13

Ein Spielautomat mit zwei Scheiben, deren zehn kongruente Kreisausschnitte mit
dem Nummern 0 bis 9 nach dem Drehen zufällig stehen bleiben, schüttet folgende
Gewinne aus:

5 €, wenn zweimal die 0 im Fenster steht, 2 € wenn irgendein anderes Paar
gleicher Zahlen auftritt, 0,50 €, wenn genau eine 0 auftritt.

In allen anderen Fällen geht der Einsatz verloren.

=over

=item a)

Berechnen Sie den Erwartungswert der Ausschüttung.

M<E(X) = \frac{1}{10^2}\left[
{}5      \,\text{€} \cdot 1 +
{}2      \,\text{€} \cdot 9 +
{}0{,}50 \,\text{€} \cdot \left(1 \cdot 9 + 9 \cdot 1\right)
\right] = 32 \,\text{¢};>

=item b)

Ist der Einsatz von 0,50 € für den Automatenbesitzer rentabel?

Ja, weil M<50 \,\text{¢} E<gt> 32 \,\text{¢}>.

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 188, Aufgabe 20

Ein Gerät bestehe aus drei komplizierten Systemen, die unabhängig voneinander
ausfallen können. Die auf die Wartungszeit bezogene Ausfallswahrscheinlichkeits
für jedes der Systeme sei 1 %. Die Zufallsgröße M<X> kennzeichne die Anzahl der
ausfallenden Systeme.

=over

=item a)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von M<X>.

M<P(X = 0) = \left(1 - 1 \,\%\right)^3;>

M<P(X = 1) = 3 \cdot 1 \,\% \cdot \left(1 - 1 \,\%\right)^2;>

M<P(X = 2) = 3 \cdot \left(1 \,\%\right)^2 \cdot \left(1 - 1 \,\%\right);>

M<P(X = 3) = \left(1 \,\%\right)^3;>

=item b)

Berechnen Sie die erwartete Anzahl von ausfallenden Systemen.

M<E(X) = \cdots = 0{,}03 = 3 \,\% = E(A_1) + E(A_2) + E(A_3);>

=back

=head3 Stochastik-Buch Seite 189, Aufgabe 24

Welche Augensumme kann man beim zehnmaligen unabhängigen Werfen eines
Laplace-Würfels erwarten?

M<E(X_1 + X_2 + \cdots + X_{10}) = 10 E(X) = 35;>

=head3 Stochastik-Buch Seite 202, Aufgabe 56

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein gerade 60-jähriger Mann im Laufe des folgenden
Jahres stirt, ist ungefähr M<0{,}02>. Der entsprechende Wert für eine
60-jährige Frau ist ungefähr M<0{,}01>.

=over

=item a)

Ein 60-jähriger Mann schließt eine Risikoversicherung für ein Jahr ab über eine
Summe von 10000 €. Die Versicherungsprämie sei 300 €. M<X> kennzeichne den
Reingewinn oder den Verlust, den die Versicherung an einem solchen Vertrag
erzielt. Die Anzahl der unter gleichen Bedingungen Versicherten sei sehr groß.
Konstruieren Sie die Wahrscheinlichkeitstabelle und berechnen Sie M<E(X)>.

M<E(X) = 300 \,\text{€} \cdot \left(1 - 2 \,\%\right) + \left(300 \,\text{€} -
10000 \,\text{€}\right) \cdot 2 \,\% = 100 \,\text{€};>

=item b)

Eine 60-jährige Frau schließt einen ebensolchen Vertrag über 10000 € ab. M<Y>
sei der Reingewinn bzw. Verlust der Versicherung. Wie hoch muss die
Versicherung die Jahresprämie festsetzen, wenn M<E(X) = E(Y)> sein soll?

M<E(Y) = p \cdot \left(1 - 1 \,\%\right) + \left(p - 10000 \,\text{€}\right)
\cdot 1 \,\% = E(X);>

⇔ M<p = \frac{E(X) + 10000 \,\text{€} \cdot 1 \,\%}{1 - 1 \,\% + 1 \,\%} = E(X)
+ 100 \,\text{€} = 200 \,\text{€};>

=item c)

Konstruieren sie die gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle für M<X> und M<Y>
unter der Voraussetzung, dass es sich um zwei unabhängige Personen handelt, und
leiten Sie daraus die Wahrscheinlichkeitsverteilung für M<X + Y> ab.

  y\x     | 300 €   -9700 € |
  --------+-----------------+------
    200 € |  97 %       2 % |  99 %
  -9800 € |   1 %       0 % |   1 %
  --------+-----------------+------
          |  98 %       2 % | 100 %


  x+y | -19500 € | -9500 € | 500 €
  ----+----------+---------+------
  P   |      0 % |     3 % |  97 %

=item d)

Berechnen Sie M<E(X + Y)> mithilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung und dann
nach der Summenregel.

M<E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 200 \,\text{€};>

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