=for timestamp
Mi Sep 27 17:03:08 CEST 2006

=head2 97. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 202, Aufgabe 53

Bei einem Fabrikationsprozess zweier Werkstücke seien für jedes Werkstück die
Abweichungen M<-0{,}2>, M<-0{,}1>, M<0{,}0>, M<0{,}1>, M<0{,}2> vom Sollwert
M<\mu_1> bzw. M<\mu_2> gleich möglich. M<X_1> bzw. M<X_2> kennzeichne die
jeweilige Abweichung. M<X_1> und M<X_2> seien unabhängig.

=over

=item a)

Berechnen Sie für die Summe M<\mu_1 + \mu_2> die sämtlichen möglichen
Abweichungen und Wahrscheinlichkeiten.

=item b)

Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von M<X_1 + X_2> grafisch dar.

M<P(X_1 + X_2 = -0{,}4) = 1 \left(\frac{1}{5}\right)^2;> M<\\>
M<P(X_1 + X_2 = -0{,}3) = 2 \left(\frac{1}{5}\right)^2;> M<\\>
M<P(X_1 + X_2 = -0{,}2) = 3 \left(\frac{1}{5}\right)^2;> M<\\>
M<P(X_1 + X_2 = -0{,}1) = 4 \left(\frac{1}{5}\right)^2;> M<\\>
M<P(X_1 + X_2 =  0{,}0) = 5 \left(\frac{1}{5}\right)^2;> M<\\>
M<P(X_1 + X_2 =  0{,}1) = 4 \left(\frac{1}{5}\right)^2;> M<\\>
M<P(X_1 + X_2 =  0{,}2) = 3 \left(\frac{1}{5}\right)^2;> M<\\>
M<P(X_1 + X_2 =  0{,}3) = 2 \left(\frac{1}{5}\right)^2;> M<\\>
M<P(X_1 + X_2 =  0{,}4) = 1 \left(\frac{1}{5}\right)^2;>

=item c)

Welche Abweichung vom Sollwert M<\mu_1 + \mu_2> hat die größte
Wahrscheinlichkeit?

Die Abweichung M<\Delta = 0>/M<\left|\Delta\right| = 0{,}1> hat die größte
Wahrscheinlichkeit.

=item d)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Abweichung vom Sollwert im
Intervall M<-0{,}1 \leq X_1 + X_2 \leq 0{,}1> gelegen ist?

M<P(-0{,}1 \leq X_1 + X_2 \leq 0{,}1) = 13 \left(\frac{1}{5}\right)^2;>

=item e)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie dem Betrag nach größer sind?

M<P\!\left(\left|X_1 + X_2\right| E<gt> 0{,}1\right) = 1 - 13
\left(\frac{1}{5}\right)^2;>

=item f)

Berechnen Sie M<E(X_1)> und M<E(X_2)>.

M<E(X_1) = E(X_2) = 0;>

=item g)

Berechnen Sie M<\operatorname{Var}(X_1)> und M<\operatorname{Var}(X_2)>.

M<\operatorname{Var}(X_1) = \operatorname{Var}(X_2) = 0{,}02;>

=item h)

Berechnen Sie M<\operatorname{Var}(X_1 + X_2)> mithilfe der
Wahrscheinlichkeitsverteilung b) und zeigen Sie die Gültigkeit der
Varianzregel.

M<\operatorname{Var}(X_1 + X_2) = \operatorname{Var}(X_1) +
\operatorname{Var}(X_2) = 0{,}04;>

=back

=head3 Kann man direkt an den Komponenten zweier Vektoren erkennen, ob die
Vektoren zueinander senkrecht stehen?

M<\left(\!\begin{smallmatrix}a\\b\end{smallmatrix}\!\right) \perp
k \left(\!\begin{smallmatrix}-b\\a\end{smallmatrix}\!\right);>

M<\begin{array}{rcl|l}
{} \alpha &=& - k b  \quad\ & \cdot\, a \\
{} \beta  &=&   k a  \quad\ & \cdot\, b \\\hline
{} a \alpha &=& -kab \quad\ & \cdot\, \left(-1\right) \\
{} b \beta  &=&  kab \quad\ & \\\hline
{} b \beta  &=& -a \alpha \quad\ & +\, a\alpha \\\hline
{} a\alpha + b\beta &=& 0
\end{array}>


=for timestamp
Mo Okt  2 19:21:21 CEST 2006

        ^
        |
    +   |
    |\  |  +
    | \ | /|
    |  \|/ |
  <-----+---->
        |
        v

[Vektordreiecke (gebildet durch M<x>-Achse, Vektor als Hypothenuse und
entsprechend parallel verschobene M<y>-Achse) sind zueinander ähnlich.]