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Do Okt  5 17:14:59 CEST 2006

=head2 99. Hausaufgabe

=head3 Stochastik-Buch Seite 208, Aufgabe 66

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=item 1.

Ein Gerätehersteller führt vor jeder größeren Lieferung folgenden Text durch:
Es werden nacheinander Geräte "mit Zu­rück­le­gen" geprüft, bis das zweite
einwandfreie bzw. das zweite mangelhafte Gerät aufgetreten ist. Im ersten Fall
wird die Lieferung freigegeben, im zweiten Fall zurückbehalten.

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=item a)

Geben Sie einen geeigneten Ergebnisraum M<\Omega> an.

M<\Omega = \left\{ 11, 101, 100, 00, 010, 011 \right\}\!;>

=item b)

Schreiben Sie das Ereignis M<L>: "es wird geliefert" als Teilmenge von
M<\Omega>. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit M<P_p(L)> in Abhängigkeit vom
Anteil M<p> mangelhafter Geräte in der Lieferung.

M<L = \left\{ 11, 101, 011 \right\} \subset \Omega;>

M<P_p(L) = \left(1 - p\right)^2 + \left(1 - p\right)^2 p + p \left(1 - p\right)^2
= 2 p^3 - 3 p^2 + 1 = \left(2 p + 1\right) \left(1 - p\right)^2;>

=item c)

Weisen Sie mit Methoden der Differentialrechnung nach, dass M<P_p(L)> mit
wachsendem M<p> monoton abnimmt.

M<\frac{\mathrm{d} P_p(L)}{\mathrm{d} p} = 6 p^2 - 6 p E<lt> 0> für M<p \in
\left]0, 1\right[;>

=item d)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit höchstens, dass Lieferungen mit einem
Anteil M<p \geq 0{,}2> von mangelhaften Geräten bei diesem Testverfahren
freigegeben werden?

M<P_{\geq 0{,}2}(L) \leq 2 \cdot \left(0{,}2\right)^3 - 3 \cdot
\left(0{,}2\right)^2 + 1 = 90 \,\%;>

=item e)

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Sendung zu­rück­be­hal­ten, wenn M<p =
0{,}1> gilt?

M<1 - P_{0{,}1}(L) \approx 1 - 97 \,\% = 3 \,\%;>

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=item 2.

Die Zufallsgröße M<X> gibt die Anzahl der nach dem in Teilaufgabe 1
beschriebenen Verfahren zu prüfenden Geräte an.

=over

=item a)

Bestätigen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung

M<P(X = 2) = 1 - 2p + 2p^2; \quad P(X = 3) = 2 p \left(1 - p\right);>

M<P(X = 2) = \left(1 - p\right)^2 + p^2 = 2p^2 - 2p + 1;>

M<P(X = 3) = \left(1 - p\right)^2 p + \left(1 - p\right) p^2 + p^2 \left(1 -
p\right) + p \left(1 - p\right)^2 = 2 p - 2 p^2 = 2 p \left(1 - p\right);>

=item b)

Zeigen Sie, dass die Verteilung aus Teilaufgabe 2a den Forderungen von
Kolmogorow: "nichtnegativ" und "normiert" genügt.

M<p \in \left[0,1\right];>

M<P(X = 2) + P(X = 3) = \left(2p^2 - 2p + 1\right) + \left(2 p - 2 p^2\right) =
1;>

M<P(X = 3) = 2 p \left(1 - p\right) \geq 0>, sofern M<p> wie implizit in der
Angabe bestimmt M<\in \left[0,1\right];>

M<P(X = 2) = 2p^2 - 2p + 1 = \left(1 - p\right)^2 + p^2 \geq 0>, da eine Summe
von Quadraten im Reellen immer M<\geq 0;>

=item c)

Weisen Sie nach: M<E_p(X) = 2 \left(1 + p - p^2\right);>

M<E_p(X) = 2 \cdot P(X = 2) + 3 \cdot P(X = 3) = -2p^2 + 2p + 2;>

=item d)

Für welchen Wert von M<p> müssen im Durchschnitt die meisten Geräte geprüft
werden? Wie viele sind dies?

M<\frac{\mathrm{d} E_p(X)}{\mathrm{d} p} = -4p + 2 \stackrel{!}{=} 0;>

⇔ M<p = \frac{1}{2};>

M<E_{\frac{1}{2}}(X) = -2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 2
\left(\frac{1}{2}\right) + 2 = 2{,}5;>

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(Aus Abiturprüfung 1984.)

=head3 Geometrie-Buch Seite 208, Aufgabe 6

Berechne den Umfang des Dreiecks M<ABC>:

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=item b)

M<A(1, -6, -6); \quad B(2,2,-2); \quad C(0,-2,2);>

M<\left|\overrightarrow{AB}\right| +
{}\left|\overrightarrow{BC}\right| +
{}\left|\overrightarrow{CA}\right| =
{}9 + 6 + 9 = 24;>

=item c)

M<A(9,9,0); \quad B(-6,3,9); \quad C(0,-6,-6); \quad> Umkreisradius?

M<\left|\overrightarrow{AB}\right| +
{}\left|\overrightarrow{BC}\right| +
{}\left|\overrightarrow{CA}\right|
\approx 55{,}5;>

M<\dfrac{\left|\overrightarrow{AB}\right|}{2 \sin\arccos \frac{\vec A \vec
B}{\left|\vec A\right| \left|\vec B\right|}} = r;>

M<r = \sqrt{114};>

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